Encontrar la transformación lineal dada kernel

Question

Encontrar aplicación lineal $F$ en las bases canónicas de dado

$ F: \Bbb R^4 \to \Bbb R^3 $

$ \ker F=\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\\1\end{bmatrix} \right\} $

He intentado ampliar estos dos vectores a base de $\Bbb R^4$, he intentado añadir dos vectores dependiente lineares, pero nada parece funcionar. Le espera para una pequeña pista.

Answer 1

Deje $u=(1,2,3,4)$$v=(0,1,1,1)$. Claramente, $(u,v)$ es una familia independiente de $\mathbb{R}^4$, y se puede completar a una base de $\mathbb{R}^4$ dos vectores. Es muy fácil ver que la adición de $e_1=(1,0,0,0)$ $e_2=(0,1,0,0)$ a esta familia de los rendimientos de una base de $\mathbb{R}^4$ (calcular el rango de $(u,v,e_1,e_2)$).

Ahora un mapeo lineal está determinada únicamente por la imagen de una base de su dominio. Ya sabemos que la imagen de $u$ $v$ (el vector nulo de a $\mathbb{R}^3$), por lo tanto, sólo es necesario determinar la imagen de$e_1$$e_2$$F$. Un poco más tarde, tendremos las coordenadas de un vector de $\mathbb{R}^4$ en base a la $(u,v,e_1,e_2)$, de modo que bien podría hacer esto ahora mismo. Un sencillo sistema de resolución de los rendimientos: $$\forall (x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4,\quad (x,y,z,t)=(-z+t)u+(4z-3t)v+(x+z-t)e_1+(y-2z+t)e_2.$$

Hay una salvedad: no podemos tomar cualquier vectores $a$ $b$ $\mathbb{R}^3$ para las imágenes de $e_1$$e_2$, ya que podría crear algunos otros vectores en el núcleo de $F$. La restricción es que la familia $(a,b)$ deben ser independientes (creo que de la Clasificación de Nulidad Teorema).

Tenemos, entonces la solución general del problema: un mapeo lineal $F:\mathbb{R}^4\longrightarrow\mathbb{R}^3$ satisface todas sus necesidades si y sólo si existe una familia independiente $(a,b)$ de los vectores de $\mathbb{R}^3$ tal forma que: $$\forall(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4,\quad F(x,y,z,t)=(x+z-t)a+(y-2z+t)b.$$

Por ejemplo, el mapeo lineal $F:\mathbb{R}^4\longrightarrow\mathbb{R}^3$ definido por: $$\forall(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4,\quad F(x,y,z,t)=(x+z-t,y-2z+t,0)$$ cumple todos sus requisitos. La matriz de esta $F$ en el estándar de bases de $\mathbb{R}^4$ $\mathbb{R}^3$ es: $$[F]_{\text{std}(\mathbb{R}^4),\text{std}(\mathbb{R^3})}=\begin{pmatrix}1&0&1&-1\\0&1&-2&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$

Pero hay muchos más (de hecho, me dio a todos ellos!).

El ejemplo dado por YourAdHere corresponde para el caso de $a=(3,3,0)$ $b=(1,2,0)$ (que es, en cierto sentido, no el más simple).

Ahora, dado un $3\times4$ matriz, ¿cómo se puede determinar si la matriz (en el estándar de bases de $\mathbb{R}^4$$\mathbb{R}^3$) de un lineal de asignación de satisfacer sus necesidades? Fácil:

• Compruebe que las dos primeras columnas no son proporcionales,
• Compruebe que $C_3=C_1-2C_2$$C_4=-C_1+C_2$.

Este hecho es fácilmente visto, por ejemplo, de la forma de la matriz que me dio anteriormente.