¿No sé si aplicar para este caso pecado (a-b), o si es el caso de otro tipo de resolución, alguien con una idea sin utilizar la regla de L'Hôpital o derivación? Gracias.
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^2+\frac{1}{x})-\sin\frac{1}{x}}{x}$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Usando la identidad $$ \sin(A)-\sin(B)=2\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) $$ conseguir $$\begin{align} \lim_{x\to0}\frac{\sin\left(x^2+\frac1x\right)-\sin\left(\frac1x\right)}{x} &=\lim_{x\to0}\frac{2\sin\left(\frac{x^2}{2}\right)\cos\left(\frac{x^2}{2}+\frac1x\right)}{x}\\ &=\lim_{x\to0}x\frac{\sin\left(\frac{x^2}{2}\right)\cos\left(\frac{x^2}{2}+\frac1x\right)}{\frac{x^2}{2}}\\ &=\lim_{x\to0}x\cos\left(\frac{x^2}{2}+\frac1x\right)\lim_{x\to0}\frac{\sin\left(\frac{x^2}{2}\right)}{\frac{x^2}{2}}\\[12pt] &=0\cdot1 \end {Alinee el} $$
Ameer Deen
Puntos
2903
aldrinleal
Puntos
2188
Tal vez no una prueba elegante pero consideraba que este.
Utilizar una serie de Taylor para $\sin$.
$\sin(x)=x+ a_1x^3 + a_2x^5 + ...$
Que $A$ sea el valor del límite.
Entonces obtenemos $A=\dfrac{x^2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x}+a_1(x^2+\frac{1}{x})^3-a_1(\frac{1}{x})^3+\ldots}{x} = \dfrac{x^2+a_1(x^2+\frac{1}{x})^3-a_1(\frac{1}{x})^3)+\ldots}{x}$.
Esto es igual a $A =\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{a_1((x^3+1)^3-1)}{x^4}+\dfrac{a_2((x^3+1)^5-1)}{x^6}+\ldots$
Ahora utilizar grandes $O$ notación para reescribir como sigue: $A=\dfrac{O(x^2)}{x}+\dfrac{a_1O(x^9)}{x^4}+\dfrac{a_2O(x^{15})}{x^6}+\ldots$ por lo tanto, $A=0 + a_1 0+a_20 + \ldots =0$. Para justificar ese aviso de suma infinita que cada límite $O(x^a)/x^b$ va más rápido a $0$ $x$ hace.
