¿Hay cualquier teoremas interesantes fuera de teoría de conjuntos que usan números ordinales en sus pruebas? El único ejemplo que conozco es Teorema de Goodstein, y no he podido encontrar nada.
En otras palabras (más vagos), ¿cuál es el uso de números ordinales? (Salvo Goodstein.)
Teoremas que usan la palabra "ordinales" en su declaración no cuentan; Goodstein es un buen ejemplo.
La primera de innumerables ordinal $\omega_1$ es importante en la creación de contraejemplos en topología general. $\omega_1$ proporciona un ejemplo de un espacio topológico que es secuencialmente compacto (y countably-compacto), pero no compacto. Que $\omega_1$ es secuencialmente compacto (y countably-compacto) se sigue del hecho de que las secuencias son indexados por $\omega$, y debido a $\omega_1$ es un incontable número ordinal, cada secuencia de elementos en $\omega_1$ indexados por $\omega$ tiene un límite superior (y por lo tanto menos límite superior). Sin embargo, $\omega_1$ no es compacto porque no es un intervalo cerrado (es decir, no contiene $\omega_1$ sí).
Además, $\omega_1$ se utiliza en la construcción de la línea larga, $L=(\omega_1\times [0,1))\setminus (\emptyset,0)$ con la orden de diccionario. Este tiene la propiedad de que es un camino conectado lineal continuo para que cada punto tiene una vecindad homeomórficos a un intervalo abierto de $\mathbb{R}$, pero no es metrizable. Por lo tanto, $L$ localmente se parece a la línea real $\mathbb{R}$, pero en ciertos sentidos en más de $\mathbb{R}$.
Otro importante contra-ejemplo es el de la Tychonoff tablón, $\omega_1^+\times \omega^+$ (donde $\omega_1^+$ $\omega^+$ son los sucesores de $\omega_1$$\omega$, respectivamente) en el producto de la topología. Este tiene la propiedad de que es normal, pero tiene un no-normal subespacio (por ejemplo, el borrado Tychonoff tablón, $(\omega_1^+\times \omega^+)\setminus (\omega_1,\omega)$).
Hay muy pocos ejemplos en el análisis, generalmente a través del uso de la inducción transfinita o recursión transfinita de longitud $\omega_1$.
La Baire-Cantor estacionaria principio establece que si $C_0\supseteq C_1\supseteq C_2\supseteq\dots\supseteq C_\alpha\supseteq\dots$, $\alpha<\omega_1$, es una disminución de la secuencia de conjuntos cerrados de reales, entonces hay algunas contables $\alpha$ tal que $C_\alpha=C_{\alpha+1}=C_{\alpha+2}=\dots$
Una aplicación común de las anteriores se obtiene a través de la de Cantor-Bendixson derivados, partiendo de un conjunto cerrado $C=C_0$ y ajuste de $C_{\alpha+1}=C_\alpha'$ $C_\lambda= \bigcap_{\alpha<\lambda}C_\alpha$ $\lambda$ límite.
Por supuesto, este menciona ordinales explícitamente, pero tiene muchas aplicaciones (para declaraciones donde ordinales no son relevantes).
Por ejemplo, Baire demostrado que una función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ es el pointwise límite de una sucesión de funciones continuas (es decir, $f$ es de Baire uno) iff siempre $C$ es un vacío cerrado subconjunto de $\mathbb R$, la restricción $f\upharpoonright C$ tiene una continuidad punto.
Aquí es un boceto de la prueba.
La dirección de avance es fácil: Si $C$ es contable, tiene un punto aislado. Si $C$ es incontable, un sencillo cálculo muestra que, de hecho, $f\upharpoonright C$ es continua en un subconjunto denso de $C$.
Lo interesante de la dirección va demostrando que si $f\upharpoonright C$ tiene una continuidad punto para cada conjunto cerrado no vacío $C$, entonces para cualquier $a<b$ hay un conjunto $F$, que es simultáneamente $F_\sigma$ $G_\delta$ que $f(x)>a$ todos los $x\in F$ $f(x)<b$ todos los $x\notin F$. A partir de este que es el estándar para comprobar que $f$ es el límite uniforme de una secuencia de Baire una de las funciones, y por lo tanto es Baire uno mismo.
Ahora, para comprobar que no es un ejemplo de un conjunto $F$, se procede por la recursión transfinita: Dado $C_0=\mathbb R$, podemos definir una disminución de la secuencia de conjuntos cerrados $C_\alpha$, $\alpha<\omega_1$. Si $C_\alpha=\emptyset$ $C_\beta$ todos los valores de $\beta$. En el límite de las etapas de simplemente establecer $C_\alpha=\bigcap_{\beta<\alpha}C_\beta$. Por último, si $C_\alpha\ne\emptyset$, elegimos una continuidad punto de $x_0$$f\upharpoonright C_\alpha$. Si $f(x_0)>a$, existe un intervalo abierto $I$ tal que $f(x)>a$ todos los $x\in C\cap I$, y lo mismo si $f(x_0)<b$. Nosotros, a continuación, establezca $C_{\alpha+1}=C_\alpha\setminus I$. Por el Cantor-Baire estacionaria principio, $C_\alpha=\emptyset$ para todos lo suficientemente grande contables ordinales $\alpha$, para decir $\alpha\ge\alpha_0$.
Los conjuntos de $C_\alpha\setminus C_{\alpha+1}$ $\alpha<\alpha_0$ son disjuntos a pares, y su unión es $\mathbb R$. Por diseño, para cualquier $\alpha<\alpha_0$, $f(x)>a$ todos los $x\in C_\alpha\setminus C_{\alpha+1}$ o más $f(x)<b$ todos $x$. Desde $\alpha_0$ es contable, obteniendo el conjunto $F$ es ahora muy fácil.
Para otro ejemplo, Denjoy y Khintchine desarrollado un método para la "reconstrucción" de la primitiva de nonsummable derivados (en una contables número de pasos).
Más precisamente, por un adelgazamiento proceso que utiliza el Cantor-Baire estacionaria principio, los intervalos donde el derivado $f$ no es integrable, puede ser reducido, mientras que la organización de que ciertas series convergen, a partir de la cual una antiderivada de $f$ puede ser calculada. El proceso es un poco engorroso para describir aquí de una manera precisa, pero esto se explica en detalle en $\S\,5.2$ de Andrew Bruckner de la monografía, la Diferenciación de funciones reales.
Para dar una idea, Bruckner primera prueba (como teorema 5.2.1) el siguiente: Supongamos $E$ es un subconjunto cerrado del intervalo de $[a,b]$, y que el complemento de $E$ consiste en la secuencia de abrir los intervalos de $(a_i,b_i)$. Supongamos $F:[a,b]\to\mathbb R$ es continua, $F'$ existe (y es finito) en un cocountable subconjunto de $E$, e $F'$ (Lebesgue) integrable en $E$. Si $\sum_i|F(b_i)-F(a_i)|$ converge, entonces $$ F(b) - F(a) = \int_E F'(x) dx +\sum_i (F(b_i)-F(a_i)). $$ El Denjoy-Khintchine análisis a continuación se procede a explicar cómo identificar a $F$ cuando los supuestos en los que la serie converge o que $F'$ es integrable en a $E$ fallar.
(Hoy en día, esta "reconstrucción" de la primitiva es discutido, no a través de un proceso transfinito, pero a través de la Henstock–Kurzweil integral.)
Como un último ejemplo, permítanme mencionar un resultado de Él y Schramm en el análisis complejo, a partir de 1993. Trabajo en $\bar {\mathbb C}$, la esfera de Riemann. Un dominio está conectado a un conjunto abierto. Un círculo de dominio es un dominio tal que cada componente de la frontera es un círculo o un punto. En 1908, Koebe conjeturó una importante generalización de la definición de la integral de asignación de teorema, es decir, que cualquier avión de dominio es conformemente homeomórficos a un círculo de dominio en $\bar {\mathbb C}$. El mapeo de Riemann es el teorema en el caso en que el plano de dominio es simplemente conectado. Koebe demostrado la conjetura cuando el dominio es finitely conectado. El caso general sigue abierto. Lo que Él y Schramm demostrado es el caso donde la frontera de un dominio en la mayoría de los countably muchos componentes.
Un ingrediente clave de su (altamente no trivial) argumento es un análisis de la de Cantor-Bendixson rango de los límites del dominio (es decir, el conjunto de los componentes de la frontera es siempre con un compacto Hausdorff topología. Ya que es un contable establecido, su rango es una contables ordinal).
Desde entonces, Él y Schramm han extendido este resultado también se incluyen algunos dominios cuyo límite tiene una cantidad no numerable (pero "bien comportado") de los componentes.
Muchos otros usos de los números ordinales en el análisis de venir a través descriptivo de la teoría de conjuntos, a través de la utilización de rangos (el Cantor-Bendixson rango de un conjunto cerrado es sólo un ejemplo). Alexander Kechris del libro Clásico descriptivo de la teoría de conjuntos contiene varios ejemplos de tales rangos (en las colecciones de conjuntos compactos, clases de funciones diferenciables, etc). Otros ejemplos han sido investigados en la teoría de Baire una de las funciones (por Bourgain, Argyros, Kechris-Louveau, etc).
A juzgar por la pregunta, parece ser que hay una escasez de pruebas de matemáticas utilizando los números ordinales. A la vez, parece que hubo un exceso de tales pruebas, porque el lema de Zorn fue inventado con el propósito de eliminar los números ordinales en pruebas matemáticas. Mira el título de Kuratowski de papel, "Une méthode d''élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques" ("Un método de eliminación de los números transfinitos de razonamiento matemático"), sobre una primera versión del lema de Zorn.
Para un ejemplo específico de una prueba utilizando los números ordinales, tomar algún teorema que puede ser demostrado por inducción transfinita. La existencia de una base de Hamel. El Cantor-Bendixson descomposición de un conjunto cerrado.
Prueba de Gentzen de la consistencia de la aritmética de primer orden parece una buena ilustración. El concepto de ordinal no aparece en la declaración del teorema, pero en la prueba de transfinite inducción se requiere hasta ordinal $\varepsilon_0$.
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