Cambios de serie absolutamente convergente

Question

Cuentas de absoluta y convergencia condicional siempre digo que $$ \sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)} $$ si la serie converge absolutamente, si $\sigma$ es cualquier bijection a partir del conjunto de índices a sí mismo.

El teorema de Fubini nos dice que $$ \sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty a_{n,m} = \sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty a_{n,m} $$ si hemos de convergencia absoluta. (Tonelli del teorema nos dice que estos son iguales si todos los términos son no negativos, independientemente de si la serie converge o no).

Pero en esta respuesta, me explicó cómo reorganizar $$ \sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty a_{n,m} $$ en $$ \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_{k,n-k}. $$ Lo que se conoce teoremas se aplican a este caso, y de donde es este caso que se menciona en la literatura?

De lo exótico ¿la clase de los reordenamientos de la serie de conseguir? ¿Qué otros tipos de reordenamientos no se ajustan instantáneamente en uno de los casos cubiertos por las dos categorías anteriores que son cubiertos por el estándar de los resultados?

(Yo podría publicar mi respuesta a esto.)

Answer 1

El teorema de Fubini nos da más que la igualdad de las dos sumas iteradas, uno de los cuales es $$ \sum_{n=0}^\infty {\Huge(} \underbrace{{}\qquad\sum_{m=0}^\infty a_{n,m}\qquad{}}_{\begin{smallmatrix}\text{%#%#% remains constant} \\ \text{as %#%#% goes through} \\ \text{the whole range.}\end{smallmatrix}} {\Huge)}. $$ El teorema de Fubini nos dice, además, que las dos sumas iteradas son iguales a $$ \sum \{ a_{n,m} : (n,m) \(\mathbb Z^{\ge0})^2 \}, $$ donde la suma se define como sigue. Deje $n$$m$. Entonces la suma es $$ \sup\left\{ \sum_{(n,m)\in A} a_{n,m} :\subseteq P\text{ y }\text{ es finito} \right\} - \sup\left\{ \sum_{(n,m)\in A} -a_{n,m} :\subseteq N\text{ y }\text{ es finito} \right\}. $$ A continuación, la primera proposición en reordenamientos se indicó anteriormente nos dice que esto es igual a $$ \lim_{N\to\infty} \sum_{k=1}^N a_{n_k,m_k} $$ para cada enumeración $P=\{(n,m) : a_{n,m}\ge0\}$$N=\{(n,m) : a_{n,m}<0\}$.

Después de eso, se observa que la $$ \sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^n a_{k,n-k} \right) $$ es simplemente un ejemplo de enumeración.

Answer 2

A mí me parece que está aludiendo a la teoría de la desordenada suma, lo que se discute (por ejemplo) en $\S$ 14.2.3 de estas notas.

En particular, se discute que desordenada suma es equivalente a la convergencia absoluta, y la aplicación de dobles de la serie se da como un ejercicio.

(En mi opinión de llamar a este fenómeno "del Teorema de Fubini" es un poco más elegante que de ser necesario).