Polinomio mínimo de la raíz de número algébrico

Question

He obtenido el polinomio mínimo de $9-4\sqrt{2}$ $\mathbb{Q}$ por operaciones algebraicas:

$$ (x-9)^2-32 = x^2-18x+49.$$

¿Me gustaria saber cómo calcular el polinomio mínimo de $\sqrt{9-4\sqrt{2}}$ con la ayuda de este sub resultado? ¿O hay una forma más inteligente de hacer esto (no necesariamente algorítmica)?

Answer 1

Su número será satisfacer $x^4-18x^2+49=0$, y que será mínimo a menos que su número ya está en ${\bf Q}(\sqrt2)$, que lo es, puesto que $(1-2\sqrt2)^2=9-4\sqrt2$.

Answer 2

Ya que satisface a $x = 9 - 4\sqrt{2}$ $x^2 - 18x + 49 = 0$, su número $y = \sqrt{x} = \sqrt{9 - 4\sqrt{2}}$ satisface $y^4 - 18y^2 + 49 = 0$. Esto podría ser su polinomio mínimo, pero el polinomio se factoriza como $$y^4 - 18y^2 + 49 = (y^2 + 2y - 7)(y^2 - 2y - 7).$$ Since the product is zero if and only if at least one of them is zero, we get that either $y ^ 2 + 2y - 7 = 0 $ or $y ^ 2 - 2y - 7 = 0 $. Since the minimal polynomial must have degree at least $2 $, one of those must be your minimal polynomial. (In this case it is the latter, $y ^ 2 - 2y - 7$.)

Answer 3

$\rm x^4-18\,x^2+49\:$ será el polinomio mínimo, a menos que $\rm\:\sqrt{9-4\sqrt{2}}\:$ denests a $\rm\:a + b\sqrt{2}.\:$
Esto puede ser probado por un radical almacenaje fórmula que descubrí cuando era un adolescente.

---

Simple Almacenaje Regla De $\rm\ \ \ \color{blue}{subtract\ out}\ \sqrt{norm}\:,\ \ then\ \ \color{brown}{divide\ out}\ \sqrt{trace} $

Recuerdan $\rm\: w = a + b\sqrt{n}\: $ norma $\rm =\: w\:\cdot\: w' = (a + b\sqrt{n})\ \cdot\: (a - b\sqrt{n})\ =\: a^2 - n\: b^2 $

y, además, $\rm\:w\:$ seguimiento $\rm\: =\: w+w' = (a + b\sqrt{n}) + (a - b\sqrt{n})\: =\: 2\:a$

---

Aquí $\:9-4\sqrt{2}\:$ norma $= 49.\:$ $\rm\ \: \color{blue}{subtracting\ out}\ \sqrt{norm}\ = 7\ $ rendimientos $\ 2-4\sqrt{2}\:$

y esto ha $\rm\ \sqrt{trace}\: =\: 2,\ \ so,\ \ \ \color{brown}{dividing\ it\ out}\ $ de este rendimientos de la sqrt: $\:1-2\sqrt{2}.$

La comprobación de que hemos $\ \smash[t]{\displaystyle \left(1-2\sqrt{2}\right)^2 =\ 1+8 -4\sqrt{-3}\ =\ 9-4 \sqrt{2}}.$

Ver esta respuesta general de los radicales almacenaje de los algoritmos.

Answer 4

Maple puede calcular polinomios mínimos, por ejemplo:

evala(Norm(Convert(sqrt(9-4*sqrt(2)),RootOf) - z));

$-7+2z+z^2$