Mi pregunta es sobre el análisis de señales con PCA en el dominio de la frecuencia.
En el reciente ICML, Li y Prakash presentaron una ponencia. Se trata de un sistema dinámico lineal complejo, que resulta ser un modelo del que la transformada de Fourier y el PCA son casos especiales. Echa un vistazo a Cluster de series temporales: lo complejo es más sencillo .
El PCA, al igual que las transformaciones de onda, es una transformación ortogonal. Trata de rotar los datos para maximizar cierta métrica (es decir, la varianza). Curiosamente, si los datos son suficientemente aleatorios (isótropos), ninguna rotación ayudará a aumentar la varianza. En este caso, PCA se convertirá básicamente en una transformación de onda.
La ventaja de utilizar el PCA en el dominio de la frecuencia es que permite elegir un conjunto de pesos aprovechando las correlaciones cruzadas entre las señales en determinados ciclos. Por ejemplo, (según el ámbito de aplicación) el comportamiento de las variables estudiadas puede ser diferente a corto, medio y largo plazo. La utilización del ACP en el dominio de la frecuencia permitirá elegir las ponderaciones en función de la frecuencia.
La diferencia entre el ACP en el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia puede entenderse en términos de cómo se calculan los valores propios. En el dominio del tiempo, se utiliza la matriz de correlación. En el dominio de la frecuencia, se utiliza la transformada de Fourier de la matriz de correlación o la matriz de densidad espectral para calcular los valores propios.
Para las aplicaciones técnicas del uso de PCA en el dominio de la frecuencia, hay una descripción en el libro de Jolliffe,I.T(2002), Principal Component Analysis, 2nd Edition. Aquí hay una enlace a la página correspondiente.
En cuanto a tu segunda pregunta, he entendido que el ACP en sí mismo es un método para encontrar combinaciones de variables que extraigan la máxima información de los datos maximizando la varianza de los componentes principales. Por lo tanto, no parece tratar ninguna información cíclica o de frecuencia en los datos.
Si acepta espectroscopia como el dominio de la frecuencia: El PCA se utiliza mucho allí. Por ejemplo, una búsqueda en pubmed sobre análisis de componentes principales y espectroscopia arroja más de 2.500 resultados. Por otra parte, los espectroscopistas rara vez se fijan en el dominio del tiempo (la espectroscopia por transformada de Fourier sí utiliza un dominio espacial como "intermedio", pero para el análisis de los datos se suele utilizar e interpretar el dominio de la frecuencia/longitud de onda/número de onda).
Si hace un ACP en el dominio de la frecuencia, las primeras PC le dirán qué frecuencias contribuyen más a la varianza del conjunto de datos y, además, qué frecuencias varían juntas (con correlación pos. o neg.): acaban en la misma PC o son independientes entre sí (acaban en diferentes PC). Que esto coincida con las frecuencias que más contribuyen depende de si los datos están centrados o no (por su naturaleza o por el centrado).
Yo diría que si el PCA debe hacerse en el dominio del tiempo o de la frecuencia depende de la interpretación de estos dominios.
El análisis de componentes principales (ACP) es un procedimiento matemático que utiliza una transformación ortogonal para convertir un conjunto de observaciones de variables posiblemente correlacionadas en un conjunto de valores de variables no correlacionadas denominadas componentes principales. Esta transformación se define de manera que el primer componente principal tenga la mayor varianza posible (es decir, que represente la mayor parte posible de la variabilidad de los datos), y cada componente sucesivo tenga a su vez la mayor varianza posible bajo la restricción de que sea ortogonal a (sin correlación con) los componentes precedentes. Se garantiza que los componentes principales son independientes sólo si el conjunto de datos se distribuye normalmente de forma conjunta. No tengo muchos conocimientos sobre el análisis de frecuencias o el procesamiento de señales. Pero el PCA tiene aplicación en este campo. Consulte literatura .
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