Problema de límite de error - ¿Dónde está el error?

Question

Este problema viene de nuestro libro de texto.

Evaluar $$ \lim\limits_{x \to 0}\frac{2^x-1-x}{x^2} $$ sin usar la regla de L'Hospital o en series de Taylor.

La siguiente imagen muestra la solución dada por el libro de texto.

Muchas de las personas que respondieron a esta pregunta decir que el límite diverge. Pero de acuerdo a la solución (ver la imagen adjunta) que se da en el libro de texto, el límite es de $ \frac{(\ln2)^2}{2} $. Hay un error en la solución dada en la imagen adjunta?

Nota: Este problema ( y la solución) proviene de Cengage, mucho tiempo el favorito de los estudiantes que se preparan para el IIT JEE Examen (Iit son de la India más prestigiosos institutos de ingeniería.) Es sorprendente que ningún alumno/profesor se ha encontrado este error todos estos días. Sin embargo, una vez publicado en Stackexchange, la falacia se resolvió en un tiempo muy corto.

Gracias a todas las personas que respondieron a este problema. Ahora el error en el libro de la solución.

Answer 1

Edit: El OP ha añadido una imagen del libro, dando una (incorrecta!) evaluación del límite. Me voy a mi primera respuesta como es, y la adición de una explicación de donde el OP del libro que salió mal en la final.

La OP, en los comentarios, indica la creencia de que la regla de L'Hospital da el libro de la respuesta. Pero sólo lo hace si se aplica ciegamente:

$${2^x-1-x\over x^2}\to{\ln2\cdot2^x-1\over2x}\to{(\ln2)^22^x\over2}\to{(\ln2)^2\over2}$$

donde las dos primeras flechas indican L'Hôpital pasos y la última flecha de la evaluación de la trivial límite de $2^x\to2^0=1$.

El error en esto es que sólo se puede aplicar la regla de L'Hospital cuando ambos, numerador y denominador tienden a $0$. Así que la primera flecha está bien, puesto $2^0-1-0=1-1-0=0$. Pero la segunda flecha es no, ya que $\ln2\cdot2^0-1=\ln2-1\not=0$.

Añadido explicación. El libro de la derivación estaría bien si el límite de $L$ existe. El problema es que el límite no existe (como Stefan4024 la respuesta de la muestra). Esto es realmente un muy buen ejemplo de lo que puede salir mal si usted no presta atención a las hipótesis que subyacen a los teoremas para la evaluación de límites. (De hecho, lo que podría ser interesante aquí es explicar cómo dos aparentemente muy diferentes incorrecto derivaciones dar la misma respuesta equivocada.)

Answer 2

Considerar el límite cuando el denominador es $x$ en su lugar un uso la definición de derivados $f(x) = 2^x$.

$$\lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1 - x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2^x - 2^0}{x - 0} + \lim_{x \to 0} - \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} 2^x \cdot \ln(2) - 1 = \ln(2) - 1 \not = 0$$

Ahora, cuando dividimos por un número muy cercano a cero, que nosotros estamos obligados a infinito o menos infinito