Para preguntas específicas:
Georg Cantor en diagonal del argumento, qué es exactamente lo que hace es probar?
(Esta es la pregunta en el título a partir del momento en que escribo esto.) Esto demuestra que el conjunto de los números reales es estrictamente mayor que el conjunto de enteros positivos. En otras palabras, hay más números reales que no son enteros positivos. (Hay varias otras formas equivalentes de la indicación de él, pero esa es la manera que prefiera y frecuentemente se han visto.) Uno podría pensar: "bueno, obviamente, que es el caso", pero no se realmente que es obvio que cuando se trata con el infinito. Por ejemplo, el conjunto de enteros positivos $\{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$ y el conjunto de positivo, incluso enteros $\{2, 4, 6, 8, 10, \dots\}$ tienen exactamente el mismo tamaño, incluso a pesar de que uno podría esperar intuitivamente el último a ser exactamente la mitad del tamaño de la anterior. (Para mostrar por qué estos tienen el mismo tamaño es relativamente sencillo, pero demasiado de una desviación de su pregunta principal de la OMI.)
usted no tiene que agregar un dígito de cada número de la lista para cada número que desea agregar a la lista? Porque, quiero decir, si yo tenía 6 números de la lista anterior en lugar de cinco, ¿cómo puede exectute esta diagonal en el método de la cosa, cuando sólo hay cinco dígitos después de la 0.?
Sí, esto es necesario para que la prueba funcione. Por supuesto, en la práctica, no podemos continuar con este proceso para siempre, pero la idea de la prueba es que podemos indefinidamente hacer esto en teoría. Y esto es legítimo, porque la lista se supone que es una lista de los verdaderos números. El conjunto de los números reales contiene una infinidad de números cuyo decimal expansiones continuar indefinidamente, tales como los números racionales como $1/11 = 0.09090909...$ y los números irracionales como $\sqrt{2} = 1.41421536...$. Así que ciertamente no hay escasez de números como este para incluir en su lista (porque hay infinitamente muchos de estos números).
Y la segunda cosa que no entiendo: si había realmente una lista INFINITA, ¿cómo puede usted encontrar un número que no está en esa lista? A mí me parece que esto sólo funciona con finito listas, ¿no? Porque verdaderamente una lista infinita de contener todos los números. El hombre en el video afirma que siempre se puede hacer otro número que no está en esa lista, pero en una lista infinita, por lo que el número podría ser que no aparece en la lista?
Usted parece pensar que una "lista infinita" es la misma cosa como la "lista contiene todo lo posible", pero esto no es cierto. Es perfectamente posible tener una lista infinita de números que no contiene todos los números posibles.
Para comprender más fácilmente esto, considere los enteros positivos:
$$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, \dots$$
Creo que estamos de acuerdo en que esta lista es infinita, porque hay infinitamente muchos enteros positivos. (Para encontrar el siguiente número entero, sólo tiene que añadir $1$ a la actual entero).
Ahora, ¿qué hay de positivo, incluso los números enteros? La lista sería así:
$$ 2, 4, 6, 8, 10, 12, \dots $$
Creo que también podemos estar de acuerdo que esta lista es infinita, porque hay infinitamente muchos positivos, números enteros. (Para encontrar el siguiente número entero, sólo tiene que añadir $2$ a la actual entero).
Así, el segundo de la lista es una lista infinita de enteros positivos (específicamente, el incluso), pero no contiene todos los enteros positivos.
Del mismo modo, en el Cantor de la diagonal argumento, el punto es construir una lista infinita de números reales, donde cada número real es "etiquetado" con $1, 2, 3, 4, 5, \dots$. Es decir, un par de cada número real con un número entero positivo en un intento de mostrar que hay lo que se llama un "contable" o "countably infinito" cantidad de números reales. (Conjuntos infinitos cuyos tamaños son iguales al tamaño de los enteros positivos se llaman contables porque en esencia podemos "contar" los elementos del conjunto por el emparejamiento de cada elemento en el conjunto con exactamente un número entero positivo.) Pero entonces la diagonal argumento muestra cómo construir un número que no puede estar en la lista. Por lo tanto, la lista no puede contener cada número real (que, de nuevo, no se contradice con el hecho de que la lista es infinita), lo que significa que la cantidad de números reales es mayor que la cantidad de enteros positivos.
Re: tu comentario
Pero, de nuevo, la única manera que usted puede crear un número que no está en la lista si la lista no está verdaderamente infinito. ¿No es cierto? Porque si la lista es infinita, por lo que el número podría no estar allí?
No. El argumento diagonal de forma explícita se muestra que el número no puede estar en la lista. "Lista infinita de números" y "contiene todos los números posibles" no son la misma cosa pero parece que seguirán pensando que son. Ver a mi entero positivo vs positivo, entero par ejemplo, en el original de mi post anterior. ¿Quizás entender eso, pero simplemente no estás convencido de cómo esa lógica se extiende a los números reales en general y no sólo números enteros? He aquí otro ejemplo con más números general.
Consideremos el conjunto de todos los números reales, cuyo primer dígito después de la coma decimal es $1.$ Esta lista contiene los números como los siguientes:
\begin{align*}
-&9.148754829...\\
&0.1326544685...\\
&12.1389749827429857...\\
&0.1111111111...\\
&31.123123123123...\\
&0.1487648348999...
\end{align*}
Ahora supongamos que quitar de esta lista a todos los números que son estrictamente mayor que $1$ o menos de $0$. A continuación, nuestra nueva lista podría ser en realidad un subconjunto de la lista anterior. Y el primero, tercero y quinto de los números que se enumeran más arriba no estaría en esta lista. ¿Está usted de acuerdo que nos están quitando un número infinito de números de la lista? Estamos. Pero, ¿realmente crees que la nueva lista es finito? No, porque incluso entre los $0$ $1$ hay infinitamente muchos números diferentes, cuyo primer dígito decimal es $1$.
\begin{align*}
&0.1326544685...\\
&0.1111111111...\\
&0.1487648348999...\\
&0.1\\
&0.197865413897...\\
&0.125
\end{align*}
Esta es una lista infinita de números reales que no contienen cada número real. Ni siquiera contienen cada número real cuyo primer dígito decimal es $1$, pero aún así es una lista infinita.
En una lista infinita de números con infinitos dígitos, este argumento podría uh... bueno,supongo que nunca podría hacer. La línea diagonal de dígitos seguiría hasta el infinito, sin embargo, nunca podría hacer un número que no está en esa lista. Me siento tan confundida pensando en estas listas infinitas, pero, ¿sabes a lo que me refiero? Parece que este argumento depende de la lista final de alguna manera.
Este tren de pensamiento se encuentra en el centro de por qué algunas personas rechazan el argumento de Cantor , pero la comunidad matemática en general lo acepta. Realmente no dependen de la lista final, porque no todos los números reales tienen expansiones decimales que terminan.
El hecho de que el argumento o proceso nunca puede ser terminado no hace inválida o incorrecta. Por esa misma razón, se podría decir que no hay infinitamente muchos enteros porque no se puede escribir todo de ellos hacia abajo. Estaría de acuerdo con esa afirmación? Personalmente yo no lo haría, porque todavía podemos describir el conjunto de todos los números enteros y exhiben un patrón que nos dice cómo encontrar el "siguiente" entero. Y es de conocimiento común que encontrar el "next" (como en, la siguiente a la derecha en la recta numérica) número entero sólo tenemos que añadir $1$ a la "actual" entero. Pero algunas personas rechazan esta noción sobre la base de que este no es un proceso finito. Esto es algo que sólo he aprendido recientemente acerca de - en este sitio, la verdad. Se llama ultrafinitism.
