Justificación de la desigualdad

Question

Denotar $$L(f) = \sup_{p,q \in X}{\dfrac{\rho(f(p),f(q))}{\rho(p,q)}}$$

La siguiente proposición es extraído del libro "Álgebras de Lipschitz' por Weaver.

La proposición $1.2.4$ Deje $X$ $Y$ ser métrica espacios y deje $f$ $f_i (i \in I)$ funciones de$X$$Y$. Supongamos $f_i \rightarrow f$ pointwise. A continuación,$L(f) \leq \sup L(f_i)$.

Prueba: Para cualquier $p,q \in X$, tenemos

$$\rho (f(p),f(q)) = \lim \rho(f_i(p),f_i(q)),$$

y dividiendo por $\rho(p,q)$ muestra que $\rho(f(p),f(q))/\rho(p,q) \leq \sup L(f_i)$. Tomando el supremum $p$ $q$ ahora los rendimientos de la conclusión deseada.

Pregunta: ¿Cómo obtener la desigualdad $\rho(f(p),f(q))/\rho(p,q) \leq \sup L(f_i)$?

Answer 1

Que, $M=\sup_{i} L(f_i);$ nota que por la definición de $L(f)$, para cada $i$, tenemos

$\rho (f_i(p),f_i(q)) \leq L(f_i) \rho(p,q) \leq \big(\sup_{i} L(f_i)\big)\rho(p,q) = M .\rho(p,q)$

Ahora la izquierda de la ecuación convergen a $\rho(f(p),f(q))$ $i\to \infty$. Por lo tanto tenemos

$\rho (f(p),f(q)) \leq M. \rho(p,q)$ y esto es para cada $p,q \in X.$ $\sup _{p,q \in X} \frac{\rho(f(p),f(q))}{\rho (p,q)} \leq M$ que nos da el $L(f) \leq M$ eso tenemos.