¿Hay tal cosa como un espacio del vector de unnormed?

Question

Aprendí acerca de los espacios de Banach que hace un par de semanas. Un espacio de Banach es un completo normativa espacio vectorial. Por supuesto, esto me hizo preguntarme: ¿hay unnormed espacios vectoriales? Si hay, ¿puede alguien por favor proporcione ejemplos?

Algunas ideas:

Un completo espacio donde todas las secuencias de Cauchy converge.

Una normativa espacio vectorial es un espacio vectorial (es decir, más de $\mathbb{R})$ en algunas de norma $N$ (que es una función que se asigna a $N\to\mathbb{R}$), donde la norma obedece a la desigualdad de triángulo, la norma de un vector es no negativo, y si usted tiene un escalar que se multiplica por un vector, puede el factor escalar, pero tendrá valor absoluto de llaves.

No estoy realmente seguro de lo que se necesita para tener una unnormed espacio vectorial (tal vez el espacio vectorial necesariamente debe ser de infinitas dimensiones?). Tal vez algo realmente raro como el cero del espacio?

Gracias por la comprensión.

Answer 1

Mientras que tu pregunta puede tener varias respuestas, tal vez el más cercano a lo que usted está buscando es la noción de un no-metrizable espacio vectorial.

En la configuración general de espacios vectoriales topológicos, consideramos (como se puede adivinar por el nombre) espacios vectoriales dotados de una topología de modo que podemos hablar de ideas como la continuidad de la linealidad de los operadores. Normativa espacios vectoriales son ejemplos de espacios vectoriales topológicos donde la topología inducida por una determinada norma.

No metrizable espacio vectorial es un espacio vectorial topológico cuya topología no surgir de cualquier métrica. Estos son lugar común en el análisis funcional. Por ejemplo, si $X$ es un espacio de Banach, entonces el débil-* topología en $X^*$ nunca es metrizable menos $X$ es finito-dimensional. Otra familia de ejemplos son localmente convexo espacios, una generalización natural de los espacios de Banach, que no metrizable, a menos que su topología es generado por una contables de la colección de seminorms que los puntos separados.

Answer 2

Espacios del vector son, por defecto, unnormed. Una norma es estructura adicional que añadir a un espacio del vector, para definir un espacio vectorial normado.

Answer 3

Cada espacio vectorial (real o complejo) admite una norma. De hecho, cada espacio del vector tiene una base que se puede considerar la norma correspondiente de «$\ell^1$».

Answer 4

Delineando la construcción de Mariano Suárez-Alvare...

Problema

Cada llanura espacio vectorial admite una norma?

Construcción

Dado un plano espacio vectorial $V$.

Elegir una base de Hamel $\mathcal{B}$.

Denotar funciones con finito de apoyo por $\mathbb{R}^\mathcal{B}_0$.

Decidir por una norma no $\|(\lambda_b)_{b\in\mathcal{B}}\|$.

Ahora, respecto del isomorfismo: $$\Phi:V\to\mathbb{R}^\mathcal{B}_0:\sum_{b\in\mathcal{B}}\lambda_bb\mapsto\left(\lambda_b\right)_{b\in\mathcal{B}}$$

A continuación, se tira hacia atrás de la norma: $\|\sum_{b\in\mathcal{B}}\lambda_bb\|:=\|(\lambda_b)_{b\in\mathcal{B}}\|$

Ejemplo Especial

Tome la norma de $\ell^2$.

La norma se convierte en: $\|\sum_{b\in\mathcal{B}}\lambda_bb\|_2^2=\sum_{b\in\mathcal{B}}|\lambda_b|^2$

Especialmente, se convierte en un ortonormales base: $\langle b,b'\rangle=\delta_{b,b'}$

Conclusión

Cada planicie espacio vectorial admite una norma que - independientemente de su dimensión.

Outview

Cada álgebra con unidad de admitir una compatible norma: Existencia de normas para la C*-Álgebras de

Answer 5

Si $V$ es finito dimensional, es normable, en el sentido que puede utilizar un isomorfismo en $\mathbb R^n$ a tire hacia atrás el $\mathbb R^n$-norm. Y luego esta norma es equivalente a cualquier otra norma topology-wise, es decir, en un espacio dimensional finito, todas las normas son equivalentes en este sentido.