Dejemos que $F$ sea un campo de orden $2^n$ . Demostrar que la característica de $F$ es 2.

Question

Me imagino que el teorema de Lagrange y el hecho de que la característica de un dominio integral es $0$ o primo debe ser utilizado, pero no puede averiguar exactamente.

Answer 1

$F$ no puede tener la característica $0$ porque es un campo finito.

Si $F$ tiene la característica $p>0$ entonces $1$ genera un subgrupo aditivo de orden $p$ . Por el teorema de Lagrange, $p$ divide el orden de todo el grupo $F$ que es $2^n$ .

Desde $p$ es primo, $p=2$ .

Answer 2

Por el Teorema de Cauchy, el grupo aditivo de $\;\Bbb F\;$ tiene un elemento de orden dos, lo que significa que

$$a+a=a(1+1)=0\implies 1+1=0$$

y claramente (¿por qué?) este es el mínimo número entero posible con esta característica...