Evaluar el límite en el infinito

Question

Evaluar: $$\lim_{x \rightarrow \infty}x\sin \frac{1}{x}$ $

¿$$\lim_{x \rightarrow \infty}x \times\lim_{x \rightarrow \infty} \sin \frac{1}{x}=\infty \times0=\text{Undefined}$ $ Es esta la forma correcta de transmitir que el límite no existe? O hay una manera matemática para mostrar que el % $ $$\lim_{x \rightarrow \infty} \sin \frac{1}{x} = 0$que no sea saber 1 divide por un número infinitamente grande enfoques $0$.

Answer 1

Sólo se puede utilizar el hecho de que % $ $$\lim_{x \to \infty}f(x)g(x)=\lim_{x \to \infty} f(x) \lim_{x \to \infty}g(x)$cuando se administra ambos límites existen. Así que su método de decir esto es indefinido es incorrecta.

Así que la forma de evaluar este límite es por ajuste $\frac{1}{x}=t$, que produce que $$\lim_{x \to \infty} x\sin \frac{1}{x} =\lim_{t \to 0^{+}} \frac{\sin t}{t}=1$ $ como se discute aquí.

Answer 2

Esto realmente no demuestra que el límite no existe; demuestra que el más sencillo posible 'regla' para establecer el límite no funcionará.

Lo importante aquí es darse cuenta de que esto es igual a $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\lim_{w\to0^+}\frac{\sin w} {w} = \lim_ {w\to0 ^ +} \frac {\sin w - \sin 0} {w-0}, $$ que es una forma especial que usted puede reconocer.

Answer 3

$x$ Suficientemente grande, $\tfrac1x$ es cercana a cero y $\sin \frac1x=\frac1x+O(\frac1{x^3})$. Entonces $$ x\sin\frac1x = 1 + O (\frac1 {x ^ 2}) {} \xrightarrow [x\to\infty] 0 $$