Prueba de que el conjunto vacío es una relación

Question

En el libro Teoría de conjuntos ingenua Halmos menciona que "La relación menos excitante es la vacía" y demuestra que el conjunto vacío est un conjunto de pares ordenados porque no hay ningún elemento del conjunto vacío que no sea un par ordenado. Como el conjunto vacío es un conjunto de pares ordenados, se deduce que es una relación.

Entiendo esta línea de razonamiento, pero ¿no podría utilizar esa misma línea de razonamiento para demostrar que el conjunto vacío es un conjunto de unicornios? Y puesto que el conjunto vacío es un conjunto de unicornios (porque no contiene elementos que no sean unicornios) no es una relación (porque una relación es un conjunto de pares ordenados, no de unicornios). ¿Por qué no es válido este razonamiento?

Answer 1

El razonamiento es válido hasta el último paso. Es cierto que el conjunto vacío es también un conjunto de unicornios. Pero, ¿por qué un conjunto de unicornios no puede ser también una relación? Si se piensa en cómo se demostraría esto, habría que tomar un elemento del conjunto (que es un singleton) y demostrar que ese elemento no es un par ordenado. Pero en este caso, ¡no hay elementos que tomar!

(Del mismo modo, el conjunto vacío es también un conjunto de números reales, y un conjunto de vacas, y un conjunto de reyes de Canadá. Esto no significa que haya una vaca que sea el rey de Canadá).

Answer 2

No hay ninguna contradicción real aquí. Dejemos que $A$ sea un conjunto cualquiera, y que $S=\big\{\{a\}:a\in A\big\}$ el conjunto de los monotonos de los elementos de $A$ . Entonces $\varnothing\subseteq S$ Así que $\varnothing$ puede describirse (de forma un tanto confusa) como un conjunto de monotonos, pero esto es así vacuamente es un conjunto de monotonía porque no contiene nada que no es un singleton, no porque realmente contenga algún singleton. De manera similar, $\varnothing$ es un conjunto de pares ordenados de elementos de $A$ pero sólo de forma vacía, ya que no contiene nada que no es un par tan ordenado. De hecho, si $X$ es un conjunto cualquiera, $\varnothing$ podría llamarse conjunto de elementos de $X$ simplemente porque $\varnothing\subseteq X$ pero esto es sólo vacuamente cierto. Lo mejor es que se note que $\varnothing$ es un subconjunto de cada conjunto y no tratar de hablar de la naturaleza de sus elementos (inexistentes).

En particular, es mejor decir simplemente que todo subconjunto de $A\times A$ es por definición una relación sobre $A$ y a continuación, observe que $\varnothing\subseteq A\times A$ .

Answer 3

Todo esto se debe a que el conjunto vacío es el mismo conjunto vacío independientemente de "de qué esté vacío". Sí, el conjunto vacío es un "conjunto de solitarios" según este razonamiento.

Por lo tanto, es falso (o de todos modos, demasiado vago) para incluir "no singletons" en su proposición: "una relación es un conjunto de pares ordenados, no de solitarios". El conjunto vacío es "un conjunto de unicornios", pero también "no contiene unicornios". Entonces, ¿qué se supone que significa aquí la frase "no singletons": que no contiene ningún singleton, o que no es "un conjunto de singletons"? El conjunto vacío cumple la primera condición, pero no la segunda.

Podrías decir con más precisión "una relación contiene 0 o más pares ordenados y ningún singleton", y entonces está claro por qué el conjunto vacío se califica. O podrías decir "ningún conjunto de unicornios es una relación", lo cual es simplemente falso según la terminología que hemos acordado, puesto que ya hemos acordado que el conjunto vacío es "un conjunto de unicornios" y también es "un conjunto de pares ordenados". Has excluido incorrectamente la posibilidad de un conjunto que sea ambos de esas cosas cuando amplió "una relación es un conjunto de pares ordenados" a "una relación es un conjunto de pares ordenados", no monotonía ". No había ninguna justificación para añadir "no monotonía".

En general, hay que ser preciso al decir "un conjunto de pares ordenados", tanto si se trata de "un conjunto que contiene cero o más pares ordenados y ningún elemento que no sea un par ordenado", como si se trata de "un conjunto que contiene uno o más pares ordenados y ningún elemento que no sea un par ordenado". Al señalar que el conjunto vacío es para ser considerada una relación, el autor deja claro (si no lo estaba ya) que aquí se pretende lo primero. Si se tratara de lo segundo, entonces estaría justificado decir que "un conjunto de uniones no puede ser un conjunto de pares ordenados". Pero si se tratara de lo segundo, el conjunto vacío no sería una relación en absoluto, así que no habría que preocuparse por ello.

Si, a través de alguna noción de tipos, "el conjunto vacío de pares ordenados" y "el conjunto vacío de monotones" fueran diferentes objetos entonces sí, el conjunto vacío de pares ordenados sería una relación y el conjunto vacío de unicornios no. Pero esa no es la teoría de conjuntos en la que estás trabajando actualmente.

Answer 4

El conjunto vacío est un conjunto de unicornios y un conjunto de pares y un conjunto de espacios topológicos y un conjunto cuyos miembros son unicornios. Esto puede parecer contradictorio, pero no lo es. La razón de ello radica en la lógica subyacente. Dejemos que $U(x)$ sea un predicado que sea verdadero de $x$ si $x$ es un unicornio y considera la frase $$ \forall x \colon x \in \emptyset \to U(x). $$ Esta frase es cierta, porque " $x \in \emptyset$ "es falso para cualquier $x$ . Así que el lado derecho en realidad no importa y para cualquier fórmula $\varphi(x)$ la sentencia $$ \forall x \colon x \in \emptyset \to \varphi(x) $$ es cierto por el mismo razonamiento.

Entonces, ¿dónde está exactamente su intento de demostrar que $\emptyset$ ¿ninguna relación va mal? Bueno... " $x$ es una relación" puede formalizarse de la siguiente manera: Sea $\psi(x)$ sea la fórmula $$ \forall y \in x \exists a \exists b \colon y = (a,b) $$ (Obsérvese que " $y = (a,b)$ "es la abreviatura de una fórmula de primer orden $\pi(y,a,b)$ que se cumple si $y = (a,b)$ .)

Si $\emptyset$ no fuera una relación, entonces $\neg \psi(\emptyset)$ sería verdadera, es decir $$ \exists y \in \emptyset \forall a \forall b \colon y \neq (a,b) $$ o más precisamente $$ \exists y \forall a \forall b \colon y \in \emptyset \wedge y \neq (a,b). $$ Sin embargo, $y \in \emptyset$ es falso para cualquier $y$ y por lo tanto $\neg \psi(\emptyset)$ también es falso. Por lo tanto, $\psi(\emptyset)$ debe ser verdadera y $\emptyset$ se demuestra que es una relación. Al cambiar $\psi$ de manera obvia, también podemos demostrar que $\emptyset$ es un conjunto de solteros o un conjunto de unicornios o...

Answer 5

Me gusta tomar prestado el lenguaje de las pruebas de primalidad: El conjunto vacío no contiene ningún testigo de que no sea un conjunto de pares ordenados. El conjunto vacío no contiene ningún testigo de que no sea un conjunto de uniones. El conjunto vacío no contiene ningún testigo de que no sea simultáneamente un conjunto de unicornios y un conjunto de pares ordenados.

No hay ninguna diferencia sustancial en decir esto en lugar de "... no contiene ningún elemento tal que..." La palabra testigo simplemente parece más activa en este uso.

Aparte: El lenguaje proviene de las pruebas de primalidad de Fermat, Miller-Rabin y Solovay-Strassen. Por ejemplo, en la prueba de Fermat, si se encuentra un $a$ tal que $a^{n-1} \not \cong 1 \pmod{n}$ es un testigo de la composición de $n$ . En otras pruebas se utiliza un lenguaje similar.