¿Es posible calcular esta integral

Question

$$ \mbox{Is it possible to calculate this integral}\quad \int{1 \over \cos^{3}\left(x\right) + \sin^{3}\left(x\right)}\,{\rm d}x\quad {\large ?} $$

He intentado $\dfrac{1}{\cos^3(x)+\sin^3(x)}$ = $\dfrac{1}{(\cos(x)+\sin(x))(1-\cos x\sin x)}$ entonces hice una descomposición. Pero todavía estoy atascado. Gracias de antemano.

Answer 1

La sustitución $u = \tan(\frac{x}{2})$ convierte cualquier integrando que sea una función racional en las dos variables $\cos x$ y $\sin x$ en una función racional en $u,$ que luego se puede integrar por métodos estándar. Véase la página 56 de la obra de Hardy La integración de funciones de una sola variable .

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\dagger}}% \newcommand{\angles}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\down}{\downarrow}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \atop {= \atop \vphantom{\huge A}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\half}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,}% \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$ \begin{align} &{1 \over \bracks{\cos\pars{x} + \sin\pars{x}}\bracks{1 - \cos\pars{x}\sin\pars{x}}} ={1 \over \bracks{\cos\pars{x} + \tan\pars{\pi/4}\sin\pars{x}} \bracks{1 - \sin\pars{2x}/2}} \\[3mm]&={\root{2} \over \cos\pars{x - \pi/4}\bracks{2 - \sin\pars{2x}}} ={\root{2} \over \cos\pars{x - \pi/4}\braces{2 - \sin\pars{2\bracks{x - \pi/4} + \pi/2}}} \\[3mm]&={\root{2} \over \cos\pars{x - \pi/4}\braces{2 - \cos\pars{2\bracks{x - \pi/4}}}} \end{align}

Con $t \equiv x - \pi/4$ : \begin{align} &{1 \over \bracks{\cos\pars{x} + \sin\pars{x}}\bracks{1 - \cos\pars{x}\sin\pars{x}}} ={\root{2} \over \cos\pars{t}\bracks{2 - \cos\pars{2t}}} ={\root{2} \over \cos\pars{t}\braces{2 - \bracks{2\cos^2\pars{t} - 1}}} \\[3mm]&={\root{2} \over \cos\pars{t}\bracks{3 - 2\cos^2\pars{t}}} ={\root{2} \over 2}\, {1 \over \cos\pars{t}\bracks{\root{3}/2 - \cos\pars{t}}\bracks{\root{3}/2 + \cos\pars{t}}} \\[3mm]&={\root{2} \over 2}\bracks{% {4/3\over \cos\pars{t}} + {3/2 \over \root{3}/2 - \cos\pars{t}} + {3/2 \over \root{3}/2 + \cos\pars{t}}} \\[3mm]&={2\root{2} \over 3}\,{1 \over \cos\pars{t}} +{3\root{2} \over 4}\bracks{% {1 \over \root{3}/2 - \cos\pars{t}} + {1 \over \root{3}/2 + \cos\pars{t}} } \end{align}

$$ \int{\dd t \over \cos\pars{t}}=\ln\pars{\sec\pars{t} + \tan\pars{t}} +\quad \mbox{a constant} $$

El resto de las integrales se pueden realizar fácilmente con $s \equiv \tan\pars{t/2}$ .

Answer 3

Donde se ha dejado de $$I=\int\frac1{(\cos x+\sin x)(1-\sin x\cos x)}=\int\frac{\cos x+\sin x}{(1+2\sin x\cos x)(1-\sin x\cos x)}$$

Dejemos que $\displaystyle\int(\cos x+\sin x)\ dx=\sin x-\cos x=u\implies u^2=1-2\sin x\cos x$

$$\implies I=\int\frac{2du}{(2-u^2)(1+u^2)}$$

Otra vez, $\displaystyle\frac3{(2-u^2)(1+u^2)}=\frac{(2-u^2)+(1+u^2)}{(1+u^2)(2-u^2)}=\frac1{(1+u^2)}+\frac1{(2-u^2)}$

Por último, utilice este para la segunda integral y la primera es demasiado simple para ser descrita, ¿verdad?