Mi búsqueda de los resultados tenga que aparezca plana movimiento browniano en el disco de la unidad. Sin embargo, me estoy refiriendo específicamente a
$e^{jW_{t}} = [\cos(W_t),\sin(W_t)]^{T}$
donde $W_t$ es el movimiento browniano. Estoy en una pérdida, por lo que agradecería enormemente cualquier Consejo para que me apunte en la dirección correcta. Gracias de antemano.
1. La distribución uniforme es invariante
Deje $\theta_0$ tiene una distribución uniforme en el círculo, de modo que su pdf es $f(\theta)= \frac 1{2\pi}$ $\theta \in [0,2\pi]$ $0$ lo contrario.
Si $\theta_0$ se mueve de acuerdo a la ley de movimiento Browniano durante un intervalo de tiempo $[0,t]$, entonces su nueva distribución a través de los reales puede ser calculado mediante la aplicación de la Browniano transición función a la densidad inicial $f$.
Tenga en cuenta que los argumentos de la $\theta$ $\theta + 2k\pi$ representan el mismo punto en el círculo, por lo que con el fin de obtener la densidad de probabilidad $f_t$ sobre el círculo de sus densidades de probabilidad debe ser añadido . Si escribimos $p_t(x,y)$ para el estándar de Browniano transición de la densidad $$p_t(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}}$$ entre reales $x$$y$, entonces la densidad de $q_t(\phi, \theta)$ entre los puntos en el círculo leía $$q_t(\phi, \theta) = \cases{\sum_{k\in\mathbb Z} p_t(\phi, \theta + 2k\pi) &\text{if } \phi, \theta\in [0,2\pi], \\ 0 &\text{otherwise}.}$$
El uso de esta nueva transición de la densidad, la distribución de la punto en el tiempo $t$ es $$\begin{align} f_t(\theta) &= \int_{0}^{2\pi}q_t(\phi,\theta)f(\phi) \, d\phi\\ &= \sum_{k\in\mathbb Z}\int_{0}^{2\pi}p_t(\phi,\theta + 2k\pi)f(\phi) \, d\phi\\ &= \sum_{k\in\mathbb Z} \int_{0}^{2\pi} p_t(\phi - 2k\pi,\theta) \frac 1{2\pi} \, d\phi\\ &= \frac 1{2\pi}\sum_{k\in\mathbb Z} \int_{-2k\pi}^{-2(k-1)\pi} p_t(\phi,\theta) \, d\phi\\ &= \frac 1{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} p_t(\phi,\theta) \, d\phi = \frac 1{2\pi} = f(\theta).\\ \end{align}$$ (Los cambios en el orden de la suma son justificados por la monotonía teorema de convergencia, ya que las cantidades son positivas.)
En otras palabras, la distribución no cambia, como hemos querido mostrar.
2. Exponencial ergodicity
Ahora queremos establecer la exponencial ergodicity de movimiento Browniano en el círculo hacia la distribución uniforme. Escrito $Q^t(x,A)$ para su transición de la función y $\mu$ para el uniforme de probabilidad de la medida, esto significa que$^1$ $$\sup_{A\in\mathcal B[0,2\pi]}|Q^t(x,A)-\mu(A)| \le M(x)\rho^{t} $$ for some positive $\rho < 1$, finite $M(x)$. Aquí he utilizado la definición de la variación total de la distancia entre la probabilidad de medidas.
Vamos a demostrar que el pdf de $\theta_t = W_t \bmod 2\pi$ converge al pdf de la distribución uniforme a lo largo del tiempo. De hecho, la densidad de probabilidad de $\theta_t$ a partir de a $0$ es
\begin{align} g_t(\phi)=\sum_{k\in \mathbb Z} p_t(0,\phi+2k\pi) &= \sum_{k\in \mathbb Z} \frac 1 {\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac 1{2t}(\phi+2k\pi)^2}\\ &= \frac 1 {\sqrt{2\pi t}}e^{-\phi^2/2t}\sum_{k\in \mathbb Z} e^{-2k\pi\phi/t}e^{ -2k^2\pi^2/t}. \end{align}
Queremos saber el límite de esta última expresión como $t\to\infty$. Tenga en cuenta que los términos de la serie planteamiento $1$ y es difícil ver claramente la forma en que se compara a la disminución del factor externo a la suma. Aún así, siguiendo el enfoque en este post, podemos expresarlo en términos de Jacobi de la theta de la función $$\vartheta_3(z,q) = \sum_{k\in\mathbb Z}q^{k^2}e^{2kiz}$$ y aplicar Jacobi del imaginario de transformación (más sobre esto más adelante) para obtener una más manejable expresión.
La aplicación de la transformación implica la introducción de una nueva variable $\tau$ definido por $q=e^{i\pi\tau}$. La misma función se expresa en términos de esta variable se lee $$\vartheta_3(z\mid \tau) = \sum_{k\in\mathbb Z}e^{i\pi\tau k^2}e^{2kiz}.$$ En nuestro caso tenemos $$z =\frac{\phi\pi i}{t},\quad q = e^{-2\pi^2/t},\quad \tau=\frac{2\pi i}{t}$$ y el uso de esta notación nuestro convierte en la expresión de $$g_t(\phi) = \frac 1 {\sqrt{2\pi t}}e^{-\phi^2/2t} \vartheta_3(z\mid \tau).$$ Ahora podemos aplicar el imaginario de transformación de $(6)$ en este enlace, y obtener la forma equivalente $$\frac 1 {\sqrt{2\pi t}}e^{-\phi^2/2t} \sqrt{\frac{t}{2\pi}} e^{-iz^2/\tau\pi} \vartheta_3\Bigr(-\frac{z}{\tau} \Bigr | \Bigl. -\frac{1}{\tau}\Bigl) = \frac 1{2\pi} \vartheta_3\Bigr(-\frac{\phi}{2} \Bigr | \Bigl. \frac{it}{2\pi}\Bigl) = \frac 1{2\pi} \vartheta_3(z', q'),$$
con $z' = -\phi/2,\,\, q'= e^{-t/2}$. Por último, observe que $q'$ enfoques $ 0$$t\to\infty$, por lo tanto, sólo el término constante sobrevive en la serie $\vartheta_3(z', q')$. Por lo tanto, hemos pointwise convergencia de la densidad de $g_t(\phi) \rightarrow \frac 1{2\pi}=f(\theta)$ todos los $\phi\in[0,2\pi]$. Tenga en cuenta que el mismo argumento vale para el proceso iniciado en otro punto de $\theta_0$ si se sustituye $\phi$$\phi-\theta_0 $.
Esto establece la convergencia en la distribución del movimiento Browniano en el círculo de la distribución uniforme. Además,para cualquier subconjunto de borel $A$ $[0,2\pi]$ hemos
$$|Q^t(\theta_0,A)-\mu(A)| = \left |\int_A Q^t(\theta_0, d\phi) -\int_A f(\theta)\,d\phi\right| \le \int_A |g_t(\phi\theta_0)- f(\theta)|\,d\phi $$
$$= \int_A \frac 1{2\pi}|\vartheta_3(z', q')- 1|\,d\phi = \int_A \frac 1{2\pi}\left|\sum_{k\ne 0}e^{-tk^2/2} e^{-ki(\phi\theta_0)}\right|\,d\phi \le \int_A \frac 1{2\pi}\sum_{k\ne 0 }e^{-tk^2/2}\,d\phi$$ $$ \le 2\sum_{k\ge 1}e^{-tk^2/2} \le 2\sum_{k\ge 1}e^{-tk/2} = 2\frac{e^{-t/2}}{1-e^{-t/2}} \le 4e^{-t/2} $$
para $t\ge \log 4$, por lo que el proceso es exponencialmente ergodic con $M=4, \rho=e^{-1/2}$, como hemos querido mostrar.
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