Cómo demostrarlo: $2e^{-2x}(e^x -1)= \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{\sinh(nx)}$

Question

Estoy bastante perdido en esto, he tratado de expresar la $csch(nx)$ como una suma así: $$\frac{csch(nx)}{2}= \frac{1}{e^{nx}-e^{-nx}}=\frac{1}{2nx}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2nx)^k B_k(1/2)}{k!}$$ Dónde $B_k(x)$ son los polinomios de Bernoulli. Entonces pongo estas sumas juntas: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{\sinh(nx)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{x}\sum_{k=0}^\infty \frac{(2x)^kB_k(1/2)}{n^{1-k} k!}$$ Y entonces (sin preocuparme demasiado de si puedo cambiar las sumas o no): $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{x}\sum_{k=0}^\infty \frac{(2x)^kB_k(1/2)}{n^{1-k} k!}= \frac{1}{x} \sum_{k=0}^\infty \frac{(2x)^kB_k(1/2)}{k!} \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^{1-k}}= \frac{1}{x} \sum_{k=0}^\infty \frac{(2x)^kB_k(1/2)}{k!} \cdot \frac{1}{\zeta(1-k)}$$

Después de esto he intentado expresar la función zeta como función de los números de Bernoulli y al revés, pero sin resultado. Espero que alguien pueda ayudarme con esto. Gracias por adelantado.

Answer 1

Dejemos que $$f(x)=2e^{-2x}(e^x-1)=2(e^{-x}-e^{-2x}).$$ Entonces, $$\sum^\infty_{n=1}f(nx)=2\left(\frac1{e^x-1}-\frac1{e^{2x}-1}\right)=\frac{2\,e^x}{e^{2x}-1}=\frac1{\sinh x}.$$ Por la fórmula de inversión de Moebius, eso implica $$f(x)=\sum^\infty_{n=1}\frac{\mu(n)}{\sinh nx}.$$