Matrices ortogonales especiales tienen raíces cuadradas ortogonales

Question

Que $A$ sea una matriz ortogonal con $\det (A)=1$. Mostrar que existe una matriz ortogonal $B$ tal que $B^2=A$.

Muchas gracias.

Answer 1

Edit: Este hecho es cierto...Gracias @Dirk.

Una matriz ortogonal (ver la "forma Canónica" párrafo o este hilo exhibido por user1551) $A$ es de bloque diagonalizable en una base ortonormales con bloques $$ \left(\matriz {\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta}\right) $$ o $\pm 1$ a lo largo de la diagonal, es decir, $P^*AP=A'$ $P$ ortogonal y $A'$ bloque diagonal de rotaciones de arriba y $\pm 1$. Yo denotar $M^*$ el medico adjunto de la matriz de $M$, que no es sino la transposición $M^T$ en el caso real.

Si $\det A=1$ 2$k$ números de $-1$ en la diagonal, correspondiente a $k$ rotaciones de ángulo de $\pi$. Tan sólo tenemos rotaciones y $1$'s.

Ahora, como se señalaba en @Dirk en el $-1$ de los casos,

$$ \left(\matriz{\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta} \right)=\left(\matriz{\cos\theta/2&-\sin\theta/2\\\sin\theta/2&\cos\theta/2} \right)^2. $$

La genuina idea es que una rotación, es el cuadrado de la mitad del ángulo de rotación. Esto funciona para $-I_2$, en particular, con $\theta=\pi$.

Hacerlo tantas veces como sea necesario para obtener $A'=C^2$ $C$ ortogonal. A continuación, definir $$ B:=PCP^*\qquad\Rightarrow\qquad B^2=PCP^*PCP^*=PC^2P^*=PA P^*=A $$ y tenga en cuenta que $B^*B=I$, lo $B$ es ortogonal.

Answer 2

Edit: me missunterstood la pregunta en el primero Gracias @Dirk otra vez.

Eso es cierto, $A$ es diagonalizable y $\pm 1$ en la diagonal. tienes un número par de $-1$ porque lo determinante no $1$. Para esto el % de matriz $B$será algo como $$B= \begin{pmatrix} I_n &0 &0\\ 0 & 0 &1\\ 0& -1 & 0 \\ \end{pmatrix} $ $ o más de los bloques de $ $$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 &0 \\\end{pmatrix}$.

Así tenemos $$A=P^{-1} D P = P^{-1} B B P= (P^{-1} B P) (P^{-1} B P) $ $ y $B^T B=I$ por lo tanto $B$ es ortogonal.

Answer 3

Dependiendo de lo que usted sabe, la prueba varía de una línea a la mitad de una página.

Una línea de prueba es ésta: cada una de las ortogonal de la matriz con determinante $1$ puede ser escrito como $e^K$ para algunos sesgar simétrica matriz $K$; por lo tanto,$A=B^2$$B=e^{K/2}$.

Más prueba de ello es este: $A$ es real y normal. Por lo tanto es ortogonalmente similar a la de su real Jordan en la forma. Es decir, $$ A=Q\left(I_p\oplus-I_q\oplus R(\theta_1)\oplus\cdots\oplus R(\theta_m)\right)Q^T $$ donde $Q$ es ortogonal, $\theta_1,\ldots,\theta_m\in(0,\pi)$, $R(\theta)$ indica el $2\times2$ matriz de rotación de ángulo de $\theta$, e $p+q+2m=n$. (Ver esta relacionada con la pregunta por la razón de por qué una descomposición es posible.) Desde $\det A=1$, $q$ debe ser un número par. Por lo tanto,$A=B^2$, donde $$ B=Q\left(I_p\oplus \underbrace{R(\frac{\pi}2)\oplus \cdots R(\frac{\pi}2)}_{\frac q2 \text{ bloques}} \oplus R(\frac{\theta_1}2)\oplus\cdots\oplus R(\frac{\theta_m}2)\right)Q^T. $$