Reconstrucción de un colector a partir de puntos críticos

Question

Estoy dando clases de cálculo teórico este semestre, y en la última sección de debate estábamos discutiendo los puntos críticos de las funciones. Expliqué la idea de la teoría de Morse, y un alumno me hizo una pregunta que no pude responder. No sé mucho sobre la teoría de Morse, así que la pregunta podría ser fácil. Te agradecería mucho si me puedes ayudar, o al menos darme una referencia.

Supongamos que nos dan un conjunto ordenado de firmas (es decir, el número de $+$ y $-$ de la arpillera) $\{(a_1,b_1),\dots,(a_r,b_r)\}$ que se supone que es un conjunto de puntos críticos de alguna función Morse sobre a sería un $k$ -manifiesto. La cuestión es la siguiente:

¿Cuándo existe una variedad con una función Morse que tiene un conjunto dado de firmas de puntos críticos?

Es fácil ver que el conjunto de firmas debe tener firmas de la forma $(k,0)$ y $(0,k)$ ya que cualquier función en una variedad compacta debe tener un mínimo y un máximo.

Además, no podemos empezar con, digamos, $(k-1,1)$ ya que hay que empezar por el punto de mínimo, que debe ser de firma $(k,0)$ .

Además, no es cierto que siempre podamos construir un colector con un conjunto ordenado de firmas dado. Por ejemplo, tomemos el conjunto $\{ (2,0) , (1,1), (0,2) \}$ . Siguiendo el algoritmo, primero adjuntamos una celda 0 y luego una celda 1. Topológicamente será equivalente a una letra U hecha de un tubo (cilindro). Pero entonces se necesitan dos "tapones" para convertirlo en algo compacto y cerrado, pero sólo nos queda un punto crítico.

No tengo ni idea de cuáles son las condiciones en las que podemos construir realmente un colector necesario.

He oído (pero no estoy seguro de que sea cierto) que si hemos pasado un cierto número de puntos críticos en nuestro algoritmo de reconstrucción (quizás más de $r/2+1$ ), entonces hay una única manera de terminar el procedimiento para obtener un colector compacto cerrado. Si esto es correcto, ¿sigue siendo cierto que siempre podemos obtener un colector que tenga cualquier conjunto de los primeros $r/2+1$ ¿Firmas?

¡Muchas gracias!

Answer 1

He aquí un lema que responde parcialmente a la pregunta para las variedades Impares. Ciertamente no es el caso que $n_0,\ldots, n_k$ determina de forma única $n_{k+1},\ldots, n_{2k+1}$ sin embargo, ya que siempre se puede hacer una descomposición de asas equivalente introduciendo un par de puntos críticos que se anulen. El caso par es más complicado, ya que existe una dimensión intermedia.

Lema: Dejemos que $n_0,\ldots, n_k$ sea una secuencia de enteros no negativos con $n_0>1$ . Entonces hay un $2k+1$ -manifiesto con $n_i$ puntos críticos del índice $i$ para $i\leq k$ .

Prueba: Construimos un colector con frontera adjuntando asas. Empezamos con $n_0$ 0-asas. Entonces adjuntamos $n_1$ $1$ -de alguna manera. En general, queremos adjuntar el $i$ -manejos a lo largo de las regiones $\partial(D^{i})\times D^{n-i}$ y para proceder, necesitamos saber que existen tales regiones en la frontera. Dado que $i<2k+1$ es fácil encontrar un $S^{i-1}$ dentro del $2k$ -límite de la dimensión. De hecho se puede encontrar dentro de algún conjunto abierto homeomorfo a un $(2k)$ - de la pelota. Entonces una vecindad regular es isomorfa a $S^{i-1}\times D^{n-i}$ . Bien, de esta manera hemos construido un colector con límite, $M$ que tiene todos los puntos críticos correctos hasta el índice $k$ . Ahora toma el doble de este colector $D(M)=M\cup_{\partial M}M$ . Puntos críticos del índice $i$ se convierten en puntos críticos del índice $2k+1-i$ al girar $M$ al revés, así que $D(M)$ tiene puntos críticos de índice $n_0,\ldots, n_k,n_k,n_{k-1},\ldots n_0$ . $\Box$