Mi libro dice que la mediana de la muestra de una distribución normal es un estimador imparcial de su media, en virtud de la simetría de la distribución normal. Por favor, aconseje cómo puede probarse esto.
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Deje que $Z_i$ , $1 \leqslant i \leqslant n$ ser independientes variables normales distribuidas idénticamente con media $\mu$ y la variación $\sigma^2$ y dejar que $Z_{k:n}$ denotan $k$ - las estadísticas de la cuarta orden.
Consideramos por separado el caso de incluso $n$ e impar $n$ .
Deje que $n$ ser impar, es decir. $n = 2m+1$ . Entonces la mediana de la muestra corresponde a $M = Z_{m+1:2m+1}$ . La densidad de probabilidad de esta estadísticas de la orden es: $$ f_{M}(x) = (m+1) \binom{2m+1}{m} f_X(x) \left( F_X(x) (1-F_X(x)) \right)^m $$ Desde $F_X(x) = 1-F_X(2\mu-x)$ claramente conseguimos $f_M(x) = f_M(2\mu -x)$ por simetría, y por lo tanto $$ \mathbb{E}(M) = \mathbb{E}(2 \mu -M) \implies \mathbb{E}(M) = \mu $$
Ahora considera el caso de incluso $n$ es decir. $n = 2m$ . Entonces la mediana de la muestra corresponde a $M = \frac{1}{2} \left( Z_{m:2m} + Z_{m+1:2m} \right)$ . La densidad de probabilidad conjunta es : $$ f_{Z_{m:2m}, Z_{m+1:2m}}(x_1,x_2) = m^2 \binom{2m}{m}f_X(x_1) f_X(x_2) \left(F_X(x_1) (1-F_X(x_2))\right) ^{m-1} [ x_1 \leqslant x_2 ] $$ Claramente, de nuevo $f_{Z_{m:2m}, Z_{m+1:2m}}(x_1,x_2)=f_{Z_{m:2m}, Z_{m+1:2m}}(2\mu - x_2,2 \mu - x_1)$ por simetría, por lo tanto $$ \mathbb{E}(M) = \mathbb{E}\left( \frac{ Z_{m:2m} + Z_{m+1:2m}}{2} \right) = \mathbb{E}\left( \frac{ (2\mu-Z_{m+1:2m}) + (2\mu - Z_{m:2m})}{2} \right) = \mathbb{E}(2\mu - M) $$ Esto implica de nuevo que $\mathbb{E}(M) = \mu$ como consecuencia de la simetría.
Añadido : El normalidad no se utilizó en la demostración anterior, por lo que la prueba es válida para cualquier variable aleatoria continua con densidad de probabilidad simétrica y media finita.
Michael Hardy
Puntos
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Intentemos algo: Dejemos $\mu$ ser la media de la población (por lo que se supone que existe), y asumir que la distribución es simétrica y que hay una densidad. (Así que esos son supuestos más débiles que la normalidad, y tal vez el supuesto de la densidad puede ser abandonado también.) Dejemos que $X_1,\ldots,X_n$ ser la muestra; dejar $Y_i=X_i-\mu$ para $i=1,\ldots,n$ . Deje que $m=\mathbb{E}(\operatorname{median})=\mathbb{E}(\operatorname{median}(Y_1,\ldots,Y_n))$ . Por la simetría de la distribución de la $Y$ s acerca de $0$ , $-m=\mathbb{E}(-\operatorname{median})=\mathbb{E}(\operatorname{median})$ . Desde $m=-m$ debemos tener $m=0$ . Desde $\mathbb{E}(\operatorname{median})=0$ concluimos $\mathbb{E}(\operatorname{median}(X_1,\ldots,X_n))$ $=\mathbb{E}(\operatorname{median}(Y_1+\mu,\ldots,Y_n+\mu))$ $=\mathbb{E}(\mu+\operatorname{median}(Y_1,\ldots,Y_n))=\mu$ .
