¿Cuántos números $2^n-k$ es prime?

Question

Todos estamos familiarizados con los números primos de Mersenne $$M_n = 2^n-1$$ and we indeed know that there are some $M_n$ that are prime. However, it is still open whether there are infinitly many $M_n$ that are prime. Now consider $$ F_n(k) = 2^n - k $$ with $k \geq 3$ and $k$ odd. I would like to know whether one can answer following questions for some $k$:

(1) Es $F_n(k)$ prime para algunos $n$?

(2) Es $F_n(k)$ prime para infinidad de $n$?

(3) (Si, no) ¿Para cuántos $n$ $F_n(k)$ prime?

El primer presidente de los valores de $F_n(3) = 2^n - 3$ se dan en A050415 y el primer presidente de los valores de $F_n(5) = 2^n - 5$ se dan en A156560.

Mi esperanza es que es más fácil demostrar (1), (2) y (3) de la forma $2^n-k$ en lugar de $2^n-1$. En caso de que alguien es consciente de trabajos, etc. respecto a este 'generalización' yo estaría contento acerca de la referencia.

Edit: Otro ejemplo: Para $k=5$ en el primer primer valor es $F_{39}(5)= 549755813881$.

Answer 1

He aquí una respuesta parcial (una respuesta a (1) y más de un comentario acerca de (2) y (3)). Mucho de esto se puede encontrar en este OEIS entrada.

1) No necesariamente. Si $k=509203$ (un Riesel Número), todos los términos son compuestos.

2) Este es un problema difícil, y yo estaría muy sorprendido si nada de esto podría ser probado (problemas de esta forma tienden a ser duro: por lo que yo sé, cerca de la más conocida resultado como este es del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, y ni siquiera se sabe si existe una infinidad de números primos en la secuencia de $\{n^2+1\}$).

3) de Nuevo, esto es difícil en el caso general. Debido a la existencia de Riesel los números y su cubrimiento de conjuntos, no me sorprendería si existe uno lo suficientemente cerca de un poder de $2$, de modo que $2^n-k$ es de hecho un primo, pero no hay otros términos que son (o algo así). Sin embargo, no creo que este problema es algo parecido manejable en el caso general.

Lema: Si existe un conjunto $P$ de los números primos tales que, para todos los $n$, existe un primer $p\in P$ tal que $k2^n\equiv 1\bmod p$, entonces, para todos los $n$, existe un primer $p\in P$ tal que $2^n\equiv k\bmod p$.

Prueba de dibujo:

Deje que el más pequeño de $p\in P$ tal que $k2^n\equiv 1\bmod p$ para un determinado $n$ ser llamado $f(n)$, y dejar que el más pequeño de $p\in P$ tal que $2^n\equiv k\bmod p$$g(n)$.

Paso 1: Probar que $f(n)$ es periódica.

Paso 2: Probar que uno puede "invertir" el período de $f$ obtener $g$.