Puntos de acumulación de $\{ 2^{-n} + 5^{-m} : n,m \geq 1 \}$

Question

Determinar todos los de la acumulación de puntos de los siguientes conjuntos en $\mathbb{R}^1$ y decidir si los conjuntos son abiertos o cerrados, o ninguno.

• El conjunto $X$ de todos los números de la forma $2^{-n} + 5^{-m}$ donde $m,n = 1,2,\ldots$.

Reclamo: El conjunto de acumulación de puntos es la siguiente: $$\left\{\frac{1}{2^n}: n \in \mathbb{N} \right\} \cup \left\{\frac{1}{5^n}: n \in \mathbb{N}\right\} \cup \{0\}.$$

Deje $n \in \Bbb{N}$$r>0$, y considerar el abrir de vecindad $B\left(\frac{1}{2^n},r\right) = \left(\frac{1}{2^n} - r,\frac{1}{2^n} + r\right)$.

Para el $r$ podemos encontrar $m$ lo suficientemente grande tal que $5^{-m} < r \implies \frac{1}{2^n} + \frac{1}{5^m} < \frac{1}{2^n} + r$, e $\frac{1}{2^n} - \frac{1}{5^m} > \frac{1}{2^n} - r$; por lo tanto,$5^{-m} + 2^{-n} \in B\left(\frac{1}{2^n},r\right)$.

Un argumento similar muestra que cada elemento de a $\{5^{-m}: m \in \mathbb{N}\} \cup \{0\}$ es un punto de acumulación de a $X$.

Ahora considere la posibilidad de $y \in X$. $B(y,r)$ no es un subconjunto de a $X$ ya que para todos $r > 0$, $B(y,r) \subset (\mathbb{R} - \mathbb{Q}) \not\subset \Bbb{Q}$, por lo tanto $B(y,r) \not\subset X$.

Answer 1

El último argumento no es correcto.

Para el argumentthat falta no existe ningún otro punto del límite: se determina el par $1/2^{n}+1/5^{m}$ $(n,m)$. Si una secuencia de enfoques $x$, o $n$ o $m$ iría a $\infty$, que significa que el límite debe ajustarse a las formas previstas.

Answer 2

Su argumento por el hecho de que $1/2^n$ es un punto de acumulación de obras, creo.

Han tratado de justificar que $\{1/2^n\} \cup \{1/5^m\} \cup \{0\}$ son todos de la acumulación de puntos?

Estoy de acuerdo con usted en que $B(y,r)=(y-r,y+r)$ no es un subconjunto de a $X$, pero su argumento no se justifica, debido a que $y$, un número racional, es en $B(y,r)$, lo $B(y,r) \not\subseteq (\Bbb{R}\setminus\Bbb{Q})$ .

Sin embargo, para demostrar que $B(y,r) \not\subseteq X$ usted realmente no necesita mostrar que consta exclusivamente de los números irracionales; es suficiente para explicar por qué se contiene alguno de los números irracionales. Esto se deduce del hecho de que el conjunto de los números irracionales es denso en $\Bbb{R}$, por lo que cada intervalo abierto que contiene los números irracionales. Por lo tanto, $B(y,r) \not\subseteq \Bbb{Q}$, y desde $X \subseteq \Bbb{Q}$, esto significa que $B(y,r) \not\subseteq X$.