Una demostración del Teorema de Euler en la teoría de los números

Question

Del libro de teoría de números de Ireland, Ch.3 ex. 6.

Sea y entero $n>0$ se le dará. Un conjunto de enteros $a_{1},a_{2}, \cdots ,a_{\phi(n)}$ se denomina sistema de residuos reducido módulo $n$ si son incongruentes por pares mod n y $(a_{i},n)=1$ para todos $i$ . Si además $(a,n)=1$ , demuestre que $aa_{1},aa_{2}, \cdots ,aa_{\phi(n)}$ es de nuevo un sistema de residuos reducido módulo n.

Puedo resolver este problema, sin embargo, no me queda claro cómo ayuda este resultado en lo siguiente (ex7)

Utiliza el ejemplo 6 para dar otra prueba del teorema de Euler, $a^{\phi(n)}\equiv 1 \pmod{n}$ para $(a,n)=1$

Answer 1

Hay exactamente $\phi(n)$ elementos de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ que se elevan a enteros coprimos con $n$ por lo que cualquier sistema de residuos reducido corresponde exactamente al mismo conjunto de representantes en el anillo de enteros. Esto significa que el producto $a_1\cdots a_{\phi(n)}$ es lo mismo que $b_1\cdots b_{\phi(n)}$ modulo $n$ cuando $a_i$ y $b_i$ son dos de estos sistemas. Por ejemplo, $b_i=aa_i$ y luego dividir ambos lados de la igualdad por $a_1\cdots a_{\phi(n)}$ para obtener la de Euler.

Answer 2

Si $a_1,\ldots,a_{\phi(n)}$ es un sistema de residuos reducido, entonces también lo es $aa_1,aa_2,\ldots,aa_{\phi(n)}$ . Por lo tanto, $$a_1a_2\cdots a_{\phi(n)} \equiv (aa_1)(aa_2)\cdots(aa_{\phi(n)}) \equiv a^{\phi(n)}(a_1\cdots a_{\phi(n)})\pmod{n}.$$

Answer 3

CONSEJO: Si $a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{\phi(n)}$ y $b_{1}, b_{2}, \cdots , b_{\phi(n)}$ son dos bases reducidas, ¿qué se puede decir de los productos

$\displaystyle \prod_{i=1}^{\phi(n)} a_i $

y

$\displaystyle \prod_{i=1}^{\phi(n)} b_i? $