La equivalencia más natural entre $C^*$ -algebras

Question

He escuchado o leído que, en el contexto de la geometría no conmutativa, la equivalencia de Morita es una equivalencia más natural para $C^*$ -algebras que $*$ -isomorfismo.

¿Puede alguien explicar esta frase o conocer algún texto que pueda ser útil?

¿Alguien conoce algunas comparaciones de diferentes $C^*$ -¿categorías de álgebras?

Answer 1

Aquí publico el responder He recibido para la misma pregunta en mathoverflow:

A continuación, enumero algunos datos que pueden ser útiles para construir tu intuición:
1. Dos conmutativo Equivalente de Morita $C^*$ -de hecho, son $*$ -isomorfo.
2 Si $A$ es $C^*$ -Álgebra y tomas $B=M_n(A)$ entonces $A$ y $B$ son equivalentes a Morita.
3 Muchas invariantes para $C^*$ -de las álgebras, como por ejemplo $K$ -o la homología de Hochschild o cíclica son las mismas para el equivalente de Morita $C^*$ -algebras.
4 Dos equivalentes de Morita $C^*$ -tienen la misma teoría de representación, por lo que desde este punto de vista deberían representar el mismo "espacio no conmutativo".

Y un comentario útil:

Otro dato crucial: el producto cruzado $C_0(X)\rtimes_r G$ de la $C^*$ -de un espacio de Hausdorff localmente compacto por una acción libre y propia de un grupo topológico localmente compacto es, en general, sólo Morita equivalente a la $C^*$ -del espacio cotizante $C_0(X/G)$ . De hecho, $C_0(X)\rtimes_r G$ es necesariamente no conmutativo el momento $G$ no es beliana.