Homeomorphisms del disco abierto

Question

¿Existe un homeomorphism $\phi$ a la de abrir la unidad de disco en el plano de tal manera que $\phi$ no tiene ningún punto fijo, pero existe $n$ de manera tal que el $n$-composición del pliegue $\phi^n$ es la identidad?

(Para salvar a algunos de ustedes la molestia de preguntar lo que he hecho hasta ahora: nada. Parece claro que la respuesta es no; también es claro para mí que simplemente no tienen las herramientas para intentar responder a una pregunta como esta. Si ayuda me puede decir cómo surge la pregunta: Si la respuesta es no, como sospecho, entonces no trivial que cubre mapa de $f:\mathbb D\to X$ es infinitamente toldo - esto sería decir que holomorphicity es irrelevante a algo que ocurrió ayer.)

Answer 1

No, No, no. Este podría no ser el más fácil de argumento, pero se desprende de Harold Bell, Un teorema de punto fijo de avión homeomorphisms, Bull. AMS, 82 (5), (1976), 778-780. Bell mucho más general, el resultado es que cada homeomorphism del avión dejando algunos continuum $M$ invariante tiene un punto fijo en $T(M)$ donde $T(M)$ es la "llena-en el casco" de $M$, es decir, el complemento de la ilimitada componente del complemento de $M$. Este resultado en sí es una extensión de la Cartwright-Littlewood teorema (que es el mismo resultado sólo para la orientación-la preservación de homeomorphisms), que en sí mismo es una extensión del punto fijo de Brouwer teorema. En su caso, tomar cualquier gran disco cerrado $K$ contenida en la unidad de disco tal que $\phi(K) \cap K \ne \emptyset$, y deje $M= \bigcup_{j=0}^{n-1} \phi^j(K)$

Answer 2

Este es un caso especial del teorema de Brouwer plano traducción.

El papel de John Franks titulado "Una nueva prueba del teorema de Brouwer plano traducción," Dynam de teoría ergódica. Sistemas de 12 (1992), núm. 2, 217-226.