¿Cuál es el punto de Paladins este mosquito en análisis Real por Shakarchi y Stein?

Question

He tratado de leer el volumen 3 de Shakarchi y Stein más que un par de veces, y sigo pegado en el capítulo uno, en el mismo lugar.

Después de pasar a través de un montón de conceptos básicos de análisis que hemos llegado a un lexema, que dice que si un rectángulo es el casi discontinuo de la unión de otros rectángulos, entonces el área del rectángulo es igual a la suma de la zona del interior de los rectángulos. Ok duh.

Así que en este punto supongo que vamos a tener una rigurosa prueba que se va a explicar por qué el trazado de líneas de la zona 0 en un rectángulo de no disminuir el área del rectángulo. Desafortunadamente, la primera frase de la prueba es "consideramos que la cuadrícula formada por la ampliación de los lados de todos los rectángulos de forma indefinida."

Es que se supone que ser riguroso? No puedo pensar en tres diferentes maneras de ampliar los lados de todo el interior de los rectángulos de forma indefinida, y todavía no puedo averiguar que uno que decir, porque la imagen es bastante extraño, y lo que ahora me figura que me he equivocado acerca de por qué los autores sienten la necesidad de probar una afirmación obvia.

La siguiente frase es "en Esta construcción, los rendimientos de un número finito de rectángulos...y una partición de los enteros entre 1 y M". Lo siento, pero es una broma, o es sólo una parte débil del libro que debería saltar?

Al final de la prueba que me quedo muy confundido en cuanto a cuál es el punto de esta sección. Por favor alguien puede explicar lo que me estoy perdiendo aquí?

Gracias!

Answer 1

El énfasis en el Lema está en la palabra finita. El Lema falla si usted permite que un número infinito de rectángulos. Por ejemplo, por el Stein y Shakarchi definición, un degenerado rectángulo es un rectángulo de 0 volumen. Ahora considere la posibilidad de un rectángulo determinado $R = [0,1]\times [0,1]$. Puede ser escrito como una unión de un número infinito de casi discontinuo rectángulos $$ R = \cup_{x\in [0,1]} [0,1]\times [x,x] $$

Cada uno de los degenerados rectángulos en el lado derecho tiene 0 volumen. El rectángulo de la izquierda lado positivo de volumen.

La prueba muestra dos pasos que son útiles en la teoría de la medida:

1. Un proceso de refinación de los rectángulos, mientras que el mantenimiento de la finitud de la cantidad total. Si usted ha tomado un riguroso curso de cálculo ocupan de Riemann o sumas de Darboux, usted va a reconocer este proceso que es similar a algo que haya visto antes.
2. Una indicación de por qué la finitud es importante: como resulta que la importancia de la finitud se manifiesta ya en el nivel de la línea real! (De Zeno paradoja!) Muestra cómo, una vez que entendemos la finitud en el nivel de una dimensión, va a dimensiones superiores no es nada diferente a todos.

La prueba deja algunas cosas que desear: en particular, se utiliza de forma implícita dos pasos argumento de que sería mejor explicado.

1. Implícitamente, el primer paso es mostrar que una descomposición del rectángulo en un número finito de cuadrícula rectangular conserva área.
2. El segundo paso es mostrar que el proceso de refinamiento, una descomposición de un rectángulo en un número finito de casi disjuntos de la unión de los rectángulos pueden ser refinados en una descomposición en un número finito de cuadrícula rectangular, de tal manera que cada uno de los originales de los rectángulos se compone de un número finito de la "red" rectángulos.

Más adelante en el libro que va a leer acerca de un montón más de estos tipos de ideas, la forma básica de que va como esto:

Se nos da $U$ un conjunto tal de que se trata de una unión $\cup_\alpha V_\alpha$ de algunos conjuntos. El $V_\alpha$ puede no ser la mejor, por lo que no podemos saber mucho sobre el volumen de $|V_\alpha|$ y cómo se relaciona con el volumen de $|U|$. Pero resulta que no es un determinista procedimiento que reemplaza $V_\alpha$ por una colección de $W_\beta$ tal que $U\subset \cup_\beta W_\beta$, y que el $W_\beta$ están muy bien elegidos, de modo que no sólo tenemos control sobre cómo un gran $|W_\beta|$ es, también sabemos que la relación entre el$|U|$$|W_\beta|$. El determinista procedimiento nos permite relacionados con la $|W_\beta|$$|V_\alpha|$, y esto, a su vez, finalmente, nos da lo que realmente quería: una relación entre el$|U|$$|V_\alpha|$.

En la prueba, $U$ es el gran rectángulo $R$, $V_\alpha$ son casi disjuntos colección de pequeños rectángulos $R_i$, e $W_\beta$ son de la cuadrícula pequeña rectángulos.

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Permítanme volver a escribir la prueba de una manera que es ligeramente menor a la gráfica de y más preciso, que puede ayudar a la OP.

Paso 1:

Supongamos $R$ es un rectángulo $[a,b]\times[c,d]$. Vamos $$a = s_0 < s_1 < s_2 \ldots < s_m = b $$ y $$c = t_0 < t_1 < t_2 \ldots < t_n = d $$ Escribimos $R_{ij}$ $i = 1\ldots m$ $j = 1\ldots n$ para los pequeños rectángulos $$ R_{ij} = [s_{i-1}, s_i] \times [t_{j-1}, t_j] $$ Un poco de álgebra se muestra que $$ |R| = (s_m - s_0) \cdot (t_n - t_0) = \sum_{i = 1}^m\sum_{j = 1}^n (s_i - s_{i-1})\cdot(t_j - t_{j-1}) = \sum_{ij} |R_{ij}| $$

Paso 2:

Deje $R = [a,b]\times [c,d]$ y deje $R_k$ ser una colección finita de casi discontinuo rectángulos cuya unión es $R$. Escribir $R_k = [a_k, b_k]\times [c_k,d_k]$. Consideremos el conjunto $$ S = \{ a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_K, b_K\} $$ y el conjunto de $$ T = \{ c_1, d_1, c_2, d_2, \ldots, c_K, d_K\} $$ (donde por convención, los conjuntos de $\{0,0\} = \{0\}$ [podemos cancelar números repetidos]).

El fin de $S$ $T$ cada vez más y etiqueta los puntos de $s_0 = a < s_1 \ldots s_m = b$$t_0 = c < t_1 \ldots t_n = d$. Ahora tenemos una gran cuadrícula rectangular. Lo que es útil es que para cada rectángulo $R_k$, podemos encontrar $a_k,b_k\in S$$c_k,d_k\in T$, por lo que por el paso 1, el volumen de $|R_k|$ puede ser escrito como la suma de los volúmenes de algunos números de la cuadrícula rectángulos $[s_{i-1}, s_{i}] \times [t_{j-1}, t_{j}] = R_{ij}$. Del mismo modo el gran rectángulo $R$ también puede tener su volumen escrita como una suma de $|R_{ij}|$. Queda a la conclusión de que cada una de las $R_{ij}$ es exactamente una vez en cada una de las condes. Este último paso se sigue de la "casi discontinuo" de la propiedad: es decir, si $R_{ij} \subseteq R_k$ $R_{i'j'} \subseteq R_{k'}$ donde $k' \neq k$, entonces los pares ordenados $(i,j) \neq (i',j')$.

Answer 2

Este es un ejemplo de un hecho que es obvio. Ahora, hay un montón de "obvio" que la de las declaraciones en las matemáticas, cuyas pruebas son importantes para entender, al menos en un nivel introductorio, ya que las sutilezas que participan en las pruebas a menudo ilustran las aplicaciones básicas de una nueva técnica.

En mi opinión, esta no es una de esas pruebas. En otras palabras, esta prueba es simplemente un tedioso verificación de una fácilmente comprensible, de hecho, y los métodos son básicas y no tienen ninguna relación con las técnicas en el resto del texto. Si usted fuera a decir simplemente "yo entiendo que la suma de los volúmenes de casi discontinuo de la unión de los rectángulos debe ser igual al volumen de su unión cuando su unión es también un rectángulo" y seguir adelante, que sería completamente bien.

Que el autor(s) que pasan mucho tiempo en la prueba de ello es lamentable, aunque entiendo su deseo de no omitir detalles en un texto introductorio.

Answer 3

Un par de comentarios antes de responder a la pregunta matemática. Sí, esto es intuitivamente obvio. Pero la matemática es acerca de encontrar rigurosas para justificar sus intuiciones, y dadas las extrañas bestias uno se encuentra en análisis (diferenciable, funciones, etc) necesitamos un fundamento formal. Stein es el objetivo de proceder puramente formal y construir un riguroso concepto de medida que no depende intuitiva argumentos.

Ahora para las matemáticas. Vamos a trabajar en $\mathbb R^2$ para mantener las cosas simples. Tenemos un rectángulo $[a_1, a_2]\times [b_1,b_2]$ que es la unión de algunos de los más pequeños rectángulos $[a_{i1}, a_{i2}]\times [b_{i1},b_{i2}]$ Por extender a todos los límites, que significa considerar todas las mentiras de la forma $y=a_{i1}$ $x=b_{i2}$ y así sucesivamente. El fin de las líneas verticales de izquierda a derecha y las líneas horizontales de la parte inferior a la parte superior. Para cada consecutivos par de líneas horizontales y cada consecutivos par de líneas verticales formadas de esta manera, obtenemos un rectángulo. Estos son precisamente los rectángulos que están dibujados en la imagen de la derecha en la figura 2. Ahora, podemos demostrar que éstas se encuentran en el rectángulo original. Uno de esos genéricos rectángulo es $[a_{i1}, a_{i2}]\times [b_{j1},b_{j2}]$. Desde $a_1 \le a_{i1}< a_{i2} \le a_2$, y, asimismo, para la $b$ coordenadas, $[a_{i1}, a_{i2}]\times [b_{j1},b_{j2}]$ es un subconjunto de a $[a_1, a_2]\times [b_1,b_2]$.

En una manera similar, podemos probar cada una de las nuevas cortar rectángulos se encuentra en un original pequeño rectángulo. Y volviendo a la definición de casi discontinuo, podemos probar los sindicatos que forman el original rectángulos más pequeños son casi discontinuo. Usted debe ser capaz de seguir Stein en este punto. Déjeme saber si usted necesita más detalles.

El punto es que mientras este argumento parece handwavey, puede ser totalmente riguroso si decide hacerlo. Que es lo importante.

Answer 4

Desafortunadamente, la primera frase de la prueba es "consideramos que la cuadrícula formada por la ampliación de los lados de todos los rectángulos de forma indefinida."

Aquí es una construcción de la cuadrícula en la dimensión $3$ (en el caso general, siendo una modificación evidente).

Uno comienza a partir de un rectángulo $R=[x,y]\times[z,t]\times[u,v]$ que es la casi discontinuo de la unión de un número finito de rectángulos $R_k=[x_k,y_k]\times[z_k,t_k]\times[u_k,v_k]$.

Considerar todas las coordenadas $x_k$ $y_k$ implicado y el orden como $x=a_0\lt a_1\lt\cdots\lt a_N=y$. Asimismo, considerar todas las coordenadas $z_k$ $t_k$ implicado y el orden como $z=b_0\lt b_1\lt\cdots\lt b_P=t$ y considerar todas las coordenadas $u_k$ $v_k$ implicado y el orden como $u=c_0\lt c_1\lt\cdots\lt c_Q=v$.

Ahora, arreglar un bijection de$\mathfrak J=[NPQ]$$[N]\times[P]\times[Q]$, decir $j\mapsto(n(j),p(j),q(j))$. Para cada $j$$\mathfrak J$, definir $$ \tilde R_j=[a_{n(j)-1},a_{n(j)}]\times[b_{p(j)-1},b_{p(j)}]\times[c_{q(j)-1},c_{q(j)}]. $$ Entonces el rectángulo $R$ es la casi discontinuo de la unión de la $M=NPQ$ rectángulos $\tilde R_j$ y cada rectángulo original $R_k$ es la unión de unos $\tilde R_j$, $R_k=\bigcup\limits_{j\in J(k)}\tilde R_j$, donde los conjuntos de $J(k)$ son disjuntos y su unión es $\mathfrak J$.

Es todo esto preferible a Shakarchi y Stein presentación? No estoy seguro.