Rudin Teorema 1.21

Question

El 1.21 teorema en la página 10 del libro de Rudin afirma que

Cada % real $x>0$y cada entero $n>0$ allí es uno y sólo uno positivo real $y$ tal que $y^n=x.$ este número $y$ está escrito $\sqrt[n]{x}$ o $x^{1/n}$.

No entiendo la primera frase de la prueba, que establece que

Que en la mayoría hay un tal $y$ es clara, ya que implica de $0<y_1<y_2$ $y_1^n<y_2^n.$

¿Por qué está claro?

Apreciaré cualquier respuesta.

Answer 1

Supongamos que hay dos diferentes números reales $y_1,y_2>0$ tal que $y_1^n=x$$y_2^n=x$.

Debido a $y_1\neq y_2$, sin pérdida de generalidad tenemos que $y_1<y_2$ (en otras palabras, si estuviera en su lugar el caso de que $y_2<y_1$, sólo re-etiquetar). Pero, como se señaló en Rudin del argumento, esto implica que $y_1^n<y_2^n$, y por lo tanto $x<x$, lo cual es una contradicción; por lo tanto nuestra hipótesis de que existen dos números reales cuya $n$th poder se $x$ era falso. Por lo tanto, no puede haber más de un número real positivo $y$ tal que $y^n=x$.