¿Valor esperado del cociente de variables aleatorias correlacionadas?

Question

Para las variables aleatorias independientes $\alpha$ y $\beta$ ¿existe una expresión de forma cerrada para

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right]$

en términos de los valores esperados y las varianzas de $\alpha$ y $\beta$ ? Si no es así, ¿existe un buen límite inferior para esa expectativa?

Actualización: También puedo mencionar que $\mathbb E[\alpha] = 1$ y $\mathbb E[\beta] = 0$ . Puedo controlar la varianza en $\alpha$ y $\beta$ y tengo en mente un escenario en el que las variantes de ambos $\alpha$ y $\beta$ son bastante pequeños en relación con $\mathbb E[\alpha]$ . Quizá sus dos desviaciones estándar sean inferiores a 0,3.

Answer 1

He pensado en un límite inferior, aunque no creo que sea muy ajustado. Acabo de elegir un valor arbitrario menos que la media de $\alpha$ y otro valor arbitrario alrededor de la media de $\beta^2$ . Como la expectativa es de una variable aleatoria no negativa, y porque $\alpha$ y $\beta$ son independientes,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) \mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4})$ .

Por la desigualdad de Chebyshev,

$\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) = \mathbb P(\alpha - 1 \ge -\frac{1}{2}) \ge \mathbb P(|\alpha - 1| \le \frac{1}{2}) = 1 - \mathbb P(|\alpha - 1| \ge \frac{1}{2}) \ge 1 - 4\mathrm{var}(\alpha) $

Por la desigualdad de Markov,

$\mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4}) = 1 - \mathbb P(\beta^2 \ge\frac{1}{4}) \ge 1 - 4 \mathbb E[\beta^2] = 1 - 4\mathrm{var}(\beta) $

Por lo tanto,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - 4 * 0.3^2) (1 - 4 * 0.3^2) > 0.28 $

¿Existe una forma más estándar/sistemática de hacer lo que estoy haciendo aquí, que consiga un límite más ajustado?