72 votos

¿Está el álgebra lineal sentando las bases de algo importante?

Me estoy especializando en matemáticas y actualmente estoy matriculado en Álgebra Lineal. Es muy diferente, pero me gusta (creo). Mi pregunta es la siguiente: ¿Qué puertas abre esta asignatura? (He visto un post sobre que el Álgebra Lineal es la base de las Matemáticas Aplicadas -- pero a mí me gusta hacer matemáticas por las matemáticas, no tanto las aplicaciones). ¿Es una clase independiente, o las cosas nuevas que estoy aprendiendo entrarán en juego más adelante?

41 votos

Pues claro. El análisis funcional, la geometría diferencial, la teoría de la representación... incluso la teoría de grafos hace un uso extensivo del álgebra lineal, y especialmente de las matrices y los valores propios. De hecho, aparte de la teoría de conjuntos, no se me ocurre ninguna rama de las matemáticas que no se base en el álgebra lineal.

50 votos

Literalmente todo...

9 votos

@goblin: Te sugiero que publiques tu respuesta como tal en lugar de como comentario.

80voto

Roland Puntos 1100

El álgebra lineal es uno de los fundamentos de las matemáticas modernas. Hay muchas cosas que utilizan el lenguaje y las herramientas desarrolladas en álgebra lineal:

  • Cálculo multidimensional, es decir, análisis para funciones de muchas variables, es decir, vectores (por ejemplo, la primera derivada se convierte en una matriz).

  • Geometría diferencial, que investiga las estructuras que se parecen localmente a un espacio vectorial y las funciones sobre éste.

  • El análisis funcional, que es esencialmente álgebra lineal en espacios vectoriales de dimensión infinita y constituye el fundamento de la mecánica cuántica.

  • Estadística multivariante, que investiga vectores cuyas entradas son aleatorias. Por ejemplo, para describir la relación entre dos componentes de un vector aleatorio, se puede calcular la matriz de correlaciones. Además, se puede aplicar una técnica llamada descomposición de valores singulares (que es similar al cálculo de los valores propios de una matriz) para averiguar qué componentes influyen más en los datos.

  • Siguiendo con la Estadística Multivariante y el cálculo multidimensional, hay una serie de técnicas de Aprendizaje Automático que requieren encontrar un mínimo (local) de una función no lineal (la función de verosimilitud), por ejemplo para las redes neuronales. En general, se puede intentar encontrar los parámetros que maximizan la verosimilitud, por ejemplo aplicando el método de descenso de gradiente, que utiliza la aritmética de vectores. (¡Gracias, frogeyedpeas!)

  • La Teoría del Control y la Teoría de Sistemas Dinámicos se ocupa principalmente de las ecuaciones diferenciales en las que las matrices son factores que preceden a las funciones. Conocer los valores propios de las matrices implicadas ayuda enormemente a predecir cómo se comportará el sistema y también a cambiar las matrices que lo preceden para asegurarse de que el sistema se comporta como uno quiere. En la Teoría del Control, esto está relacionado con los polos y ceros de la función de transferencia, pero en esencia se trata de colocar los valores propios en el lugar correcto. Esto no sólo es relevante para los sistemas mecánicos, sino también para la ingeniería eléctrica. (Gracias, ¡Mira detrás de ti!)

  • La optimización en general y la programación lineal en particular están estrechamente relacionadas con el cálculo multidimensional, es decir, con la búsqueda de mínimos (o máximos) de funciones, pero se puede utilizar la estructura de los espacios vectoriales para simplificar los problemas. (Gracias, ¡Mira detrás de ti!)

Además, hay muchas aplicaciones en ingeniería y física que utilizan herramientas del álgebra lineal y los campos mencionados anteriormente para resolver problemas del mundo real (a menudo calculando valores propios y resolviendo ecuaciones diferenciales).

En esencia, muchas de las herramientas matemáticas de una variable pueden trasladarse al caso multivariable con la ayuda del álgebra lineal.

Edición: Esta lista no es en absoluto completa, sólo son los temas que se me ocurrieron a la primera. No mencionar un campo en particular no significa que ese campo sea irrelevante, sino simplemente que no me siento capacitado para escribir un párrafo sobre él.

10 votos

Añadiendo al punto de las estadísticas, el aprendizaje automático no ha sido más que Lin Alg para mí :)

7 votos

Teoría del control, procesamiento de señales, optimización, procesos estocásticos...

6 votos

Teoría de sistemas dinámicos

27voto

Dac0 Puntos 1191

A estas alturas, podemos decir a grandes rasgos que todo lo que totalmente entender en Matemáticas es lineal .

Así que supongo que el Álgebra Lineal es un buen tema para dominar.

Tanto en Matemáticas como en Física se suele llevar el problema a un problema Lineal y luego resolverlo con técnicas de Álgebras Lineales. Esto ocurre en Álgebra con las representaciones lineales, en Análisis Funcional con el estudio de los Espacios de Hilbert, en Geometría Diferencial con los espacios tangentes, y así casi en todos los campos de las Matemáticas. De hecho, creo que debería haber al menos 3 cursos de Álgebra Lineal (pregrado, postgrado, avanzado), cada uno con diferentes puntos de vista sobre el tema.

9 votos

Dicho de otro modo: nos aproximamos a una realidad no lineal con un simulacro lineal más fácil de imaginar.

11 votos

En matemáticas, dividimos los problemas en lineales y no lineales. Es como dividir el universo en plátanos y no plátanos.

4 votos

+1 por la frase "todo lo que entendemos en matemáticas es lineal".

14voto

Excelentes respuestas. Sólo me gustaría añadir:

  • Infografía . Tan pronto como escalas, rotas y/o trasladas un objeto en la pantalla de un ordenador, eso es Álgebra Lineal en acción. Los gráficos por ordenador son un campo académico que depende en gran medida del álgebra lineal.

0 votos

Esto no responde a la pregunta. Para criticar o pedir aclaraciones a un autor, deje un comentario debajo de su entrada. - De Revisión

9 votos

Considerando que he tenido clases de Computación Gráfica (donde usamos Álgebra Lineal), que CG es un campo académico, y que he usado LA profesionalmente en ese campo en particular, estoy totalmente en desacuerdo contigo. La gente de arriba ya ha mencionado muchos campos importantes que se basan en el álgebra lineal o la utilizan, y no veo razón para repetir sus excelentes comentarios, pero nadie ha mencionado la computación gráfica. Sería insensato por mi parte comentar cada una de las entradas anteriores sólo para decir "No olvidéis la GC". He decidido que era mejor mencionar la GC de esta manera.

5 votos

+1 Cada vez que un estudiante adolescente curioso me pregunta "¿qué es el álgebra lineal y por qué debería importarme?", suelo arraigarla en el mundo real citando su uso en gráficos.

6voto

Remi D Puntos 69

Las matemáticas consisten en construir teoremas y propiedades a partir de un conjunto de hipótesis básicas.

El álgebra lineal es la teoría en torno al conjunto de propiedades que definen los espacios vectoriales y los mapeados lineales, y estas propiedades se verifican mediante un enorme número de otras construcciones matemáticas, pero también pueden verificarse como aproximaciones de primer orden de la mayoría de los sistemas físicos.

Así que para responder a tu pregunta, si te gustan las matemáticas por sí mismas, te encantará el Álgebra Lineal por su propia belleza. Realmente se parte de un conjunto sencillo de propiedades y se construyen objetos muy interesantes. Pero también es un paso obligatorio para la mayoría de las carreras de ingeniería o matemáticas, ya que sus propiedades se verifican en un gran número de sistemas.

5voto

zyx Puntos 20965

Intentemos imaginar cómo evite álgebra lineal.

Todo lo que implique funciones de $2$ o más variables, que puedan diferenciarse, muy pronto utilizarán operadores lineales o matrices. ¡Nada de geometría!

Tampoco álgebra ni teoría de números ni topología. Casi todo lo que en álgebra o en sus asignaturas cliente implique multiplicación asociativa (no necesariamente conmutativa), como la composición de funciones, requiere el caso más simple del álgebra lineal como preliminar.

Queda el cálculo de una variable real o compleja. En este caso, seguirá siendo difícil evitar el álgebra lineal, a menos que también se eviten las relaciones de recursión, las ecuaciones diferenciales y en diferencias, los operadores sobre las funciones, las medidas, las transformadas de Fourier y de Laplace, los polinomios de funciones especiales y ortogonales, los métodos discretos o de elementos finitos, el cálculo de variaciones. Tarde o temprano uno se encuentra con conceptos de álgebra lineal como valor propio, operador lineal y forma cuadrática.

Uno podría intentar esconderse en partes del análisis que parecen menos algebraicas. La función zeta de Riemann no parece necesitar álgebra lineal. Pero entenderla requiere algo de teoría algebraica de números, y luego están todas las conjeturas sobre sus relaciones con los operadores lineales, y los teoremas de que los ceros están espaciados según patrones típicos del azar... matrices . La geometría fractal no parece muy algebraica, hasta que uno se pregunta por qué el conjunto de Mandelbrot parece autosimilar a todas las escalas, o utiliza sistemas de funciones iteradas, que se basan directamente en el álgebra lineal. La teoría de la probabilidad está llena de cadenas de Markov, que son álgebra lineal complicada.

De acuerdo. Siempre que uno se ciña a temas que estén fuera del álgebra, el análisis y la geometría, y sean tan cualitativos que no se utilice álgebra/análisis/geometría en serio para calcular nada, ¡entonces puede que no haya necesidad de saber álgebra lineal nunca! Esto excluye actividades concretas como la combinatoria, la informática y todas las matemáticas aplicadas.

En cuanto a las pocas asignaturas que quedan, sigue siendo cuestionable que alguien pueda realmente hacer uso de ellas sin conocer el álgebra lineal. Hay demasiados patrones de pensamiento básicos que se aprenden en álgebra lineal, como el razonamiento sobre espacios de dimensión superior, que han impregnado el lenguaje y las ideas en otras partes de las matemáticas.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X