Intentemos imaginar cómo evite álgebra lineal.
Todo lo que implique funciones de $2$ o más variables, que puedan diferenciarse, muy pronto utilizarán operadores lineales o matrices. ¡Nada de geometría!
Tampoco álgebra ni teoría de números ni topología. Casi todo lo que en álgebra o en sus asignaturas cliente implique multiplicación asociativa (no necesariamente conmutativa), como la composición de funciones, requiere el caso más simple del álgebra lineal como preliminar.
Queda el cálculo de una variable real o compleja. En este caso, seguirá siendo difícil evitar el álgebra lineal, a menos que también se eviten las relaciones de recursión, las ecuaciones diferenciales y en diferencias, los operadores sobre las funciones, las medidas, las transformadas de Fourier y de Laplace, los polinomios de funciones especiales y ortogonales, los métodos discretos o de elementos finitos, el cálculo de variaciones. Tarde o temprano uno se encuentra con conceptos de álgebra lineal como valor propio, operador lineal y forma cuadrática.
Uno podría intentar esconderse en partes del análisis que parecen menos algebraicas. La función zeta de Riemann no parece necesitar álgebra lineal. Pero entenderla requiere algo de teoría algebraica de números, y luego están todas las conjeturas sobre sus relaciones con los operadores lineales, y los teoremas de que los ceros están espaciados según patrones típicos del azar... matrices . La geometría fractal no parece muy algebraica, hasta que uno se pregunta por qué el conjunto de Mandelbrot parece autosimilar a todas las escalas, o utiliza sistemas de funciones iteradas, que se basan directamente en el álgebra lineal. La teoría de la probabilidad está llena de cadenas de Markov, que son álgebra lineal complicada.
De acuerdo. Siempre que uno se ciña a temas que estén fuera del álgebra, el análisis y la geometría, y sean tan cualitativos que no se utilice álgebra/análisis/geometría en serio para calcular nada, ¡entonces puede que no haya necesidad de saber álgebra lineal nunca! Esto excluye actividades concretas como la combinatoria, la informática y todas las matemáticas aplicadas.
En cuanto a las pocas asignaturas que quedan, sigue siendo cuestionable que alguien pueda realmente hacer uso de ellas sin conocer el álgebra lineal. Hay demasiados patrones de pensamiento básicos que se aprenden en álgebra lineal, como el razonamiento sobre espacios de dimensión superior, que han impregnado el lenguaje y las ideas en otras partes de las matemáticas.
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Pues claro. El análisis funcional, la geometría diferencial, la teoría de la representación... incluso la teoría de grafos hace un uso extensivo del álgebra lineal, y especialmente de las matrices y los valores propios. De hecho, aparte de la teoría de conjuntos, no se me ocurre ninguna rama de las matemáticas que no se base en el álgebra lineal.
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Literalmente todo...
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@goblin: Te sugiero que publiques tu respuesta como tal en lugar de como comentario.
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La idea básica del cálculo infinitesimal es que, si miras cualquier cosa lo suficientemente cerca, se convierte en lineal. Por supuesto, esto es cierto sólo en parte, pero significa que, en teoría y en la práctica, el álgebra lineal aparece en todo lo que requiere derivadas. Los grupos abelianos libres no son más que una aplicación del álgebra lineal. La teoría de grafos se basa en el álgebra lineal. Sí, aparece en todas partes. Incluso los fractales, que no se vuelven lineales cuando los miras de cerca, necesitan el álgebra lineal para describirse a sí mismos.
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@StevenGregory "Los grupos abelianos libres son sólo una aplicación del álgebra lineal" - ¿podría aclarar este punto, por favor?
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@MartinArgerami, gracias, pero no me siento cómodo haciéndolo. Mi comentario no es lo suficientemente detallado y, por lo tanto, probablemente se acerque demasiado a descartar la pregunta por completo (lo que no debería hacerse, porque las preguntas sobre motivación son fundamentalmente buenas preguntas). Creo que una buena respuesta explicaría la relevancia del álgebra lineal para las asignaturas que enumera, y no se limitaría a enumerarlas.
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@silvascientist, su álgebra lineal sobre los números enteros; a $\mathbb{Z}$ -es lo mismo que un grupo abeliano.
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@silvascientist Me refiero a la importancia de las formas normales de Smith.
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@goblin Siempre pensé que el álgebra lineal se refería estrictamente a espacios vectoriales. TIL
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También es la primera vez que la mayoría de los estudiantes se enfrentan a lo que los matemáticos llaman álgebra y verás ejemplos de muchas ideas buenas y útiles: bases como grupos generadores, cambio de base como conjugación, núcleos, subespacios y cocientes, ¡y la lista continúa!
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Sin álgebra lineal no podrías abordar ningún tema avanzado de matemáticas, física o estadística.
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Sorprende que nadie haya mencionado aún los gráficos por ordenador: el renderizado 3D se basa casi exclusivamente en la comprensión de matrices, vectores, etc.
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Otro estudiante de Matemáticas explicó una vez la importancia (y dificultad) del Álgebra Lineal de esta manera: "No hay ningún curso de Álgebra no lineal".
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¿No es el álgebra lineal un campo de estudio importante, amplio y complicado, y suficientemente interesante por sí mismo? El álgebra lineal está sentando las bases de más álgebra lineal.
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¡Vaya! ¡Gracias a todos! Agradezco mucho todas las respuestas. Mi corazón se acelera de emoción por los futuros cursos de matemáticas. ¡Millones de gracias!
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¿Diferente de qué?
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@CarstenS -- ¿Podrías aclararlo, por favor?
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Esto se menciona en una respuesta, pero merece la pena repetirlo: Toda la mecánica cuántica descansa sobre los hombros del álgebra lineal.
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Escribes que el Álgebra Lineal es muy diferente, pero no dices en qué difiere tanto. Aquí en Alemania, el álgebra lineal es una asignatura de primer semestre, así que puede que ya sea diferente de lo que los estudiantes se han encontrado antes, porque todo eso no eran realmente matemáticas.
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@CarstenS ¡Ah, ya veo! Para mí, el Álgebra Lineal es diferente en comparación con el cálculo y los cursos basados en el cálculo. Parece un tipo de álgebra completamente nuevo comparado con lo que se ha enseñado hasta ahora. Cálculo II es un requisito previo para el curso, que a mí me parece un poco engañoso. (¡Hasta ahora no hemos utilizado cálculo en absoluto!) No estaba muy segura de en qué me estaba metiendo, y no estoy tan segura de lo que vendrá después de esto. ¡De ahí la pregunta inicial! (:
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¿Es LA imprescindible para estudiar Lógica Matemática?