Mostrar que $\int_{-\pi}^\pi ~f(x) \cos (nx) \mathrm{d}\mu(x)$ converge a $0$

Question

Necesito ayuda sobre el siguiente problema.

Que $f\in L_1([-\pi,\pi])$. Entonces el $\int_{-\pi}^\pi ~f(x) \cos (nx) \mathrm{d}\mu(x) \to 0$, $\mu$ Dónde está la medida de Lebesgue en $[\pi,\pi]$.

Los consejos y sugerencias sobre cómo comenzar es muy bienvenida. Gracias.

Answer 1

En primer lugar, vamos a examinar las funciones de $C_n(x)=\cos (nx)$. Para un gran $n$, la gráfica de esta función se compone de muchas ondas coseno de pequeño periodo común. En el caso de integrar esta función en $[-\pi,\pi]$, usted, por supuesto, obtener 0.

Ahora si $I$ es cualquier intervalo en $[-\pi,\pi]$ $n$ grande, la gráfica de $C_n$ $I$ consistirá en muchas coseno oleadas de pequeños y comunes, junto con una porción de una onda coseno cerca de cada extremo de $I$. Aquí, $\int_I C_n$ será la misma como la integración de la $C_n$ "cerca de los extremos" de $I$ (en la porción media de integrar a 0). Pero como $n$ crece grande, la medida de las partes que se vuelve pequeña, y como resultado, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_I C_n =0$.

Así, para cualquier intervalo de $I$ y para cualquier número de $a$, tenemos $$\lim_{n\rightarrow\infty} \int_I a\cdot C_n =0.$$

Utilizando el resultado anterior y la linealidad de la integración, se puede demostrar que si $g$ es una función de la forma $$g(x)=\sum_{i=1}^n a_i \chi_{I_i},{\text{ where } }\ I_j\cap I_k\ \buildrel{j\ne k}\over=\ \emptyset{\text{ and }}\bigcup_{i=1}^n I_i=[-\pi,\pi],$$ entonces $$\lim_{n\rightarrow\infty} \int_{[-\pi,\pi]} g C_n =0.$$

Por lo tanto, el teorema es cierto para cualquier paso de la función en $L_1$.

El resultado general se sigue del hecho de que el paso de las funciones son densos en $L_1$ (es decir, dado $f\in L_1$$\epsilon>0$, hay una función de paso de $g$$\Vert f-g\Vert_{L_1}<\epsilon$).

Me puede dar más detalles aquí si te gusta, sólo házmelo saber.

Answer 2

Esta afirmación es cierta para cualquier $f\in C^1([-\pi,\pi])$. Tenga en cuenta que $C^1([-\pi,\pi])$ es denso en $L_1([-\pi,\pi])$ por lo tanto, la igualdad sostiene para todas las $f\in L_1([-\pi,\pi])$