Estimar el perímetro de la isla

Question

Me han asignado una tarea que implica resolver un problema que se puede describir de la siguiente manera: Supongamos que estoy conduciendo un coche alrededor de un lago. En el lago hay una isla de forma irregular. Tengo un GPS conmigo en el coche, por lo que sé cuánto he conducido y cada giro que he hecho. Ahora supongamos que también tengo una cámara que toma una foto de la isla 30 veces por segundo, por lo que sé cuánto tiempo pareciera tener la isla a mi lado en todo momento. También supongamos que conozco la distancia en línea recta entre la isla y yo en todo momento. Dadas estas condiciones, ¿si conduzco alrededor del lago durante un círculo completo, podré estimar el perímetro de la isla? En caso afirmativo, ¿cómo? Gracias.

Answer 1

Supongamos que la isla $\Omega$ es convexa. Parametriza el ancho observado $w$ de $\Omega$ con la dirección desde la que se observa. Así que tenemos una función $\phi\to w(\phi)$ de período $\pi$. El ancho observado promedio es $$\bar w:={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi }w(\phi)\ d\phi\ .$$ Considera un elemento de línea $ds$ de $\partial\Omega$. Su contribución a $\bar w$ es la mitad de su longitud de proyección promedio sobre todas las direcciones $\phi$ (aquí usamos la convexidad de $\partial\Omega$), por lo que es $\ \lambda\thinspace\thinspace ds\ $ para alguna constante universal $\lambda>0$ aún por determinar. En cualquier caso, tenemos una fórmula del siguiente tipo:

$$\bar w = \lambda \int_{\partial\Omega} ds =\lambda\ L(\partial\Omega)\ .$$

Cuando $\Omega$ es el disco unitario entonces $\bar w=2$ y $L(\partial\Omega)=2\pi$. Se sigue que $\lambda={1\over\pi}$, y resolviendo para $L(\partial\Omega)$ obtenemos

$$L(\partial\Omega)=\pi\ \bar w={1\over 2}\int_0^{2\pi} w(\phi)\ d\phi\ .$$

Answer 2

Voy a intentar resolver esto, aunque me gustaría escuchar una falla en mi argumento.

Si tienes un punto de referencia en la isla donde tu cámara siempre apunta, entonces, dado que conoces tu camino de viaje exacto y la distancia desde tu camino hasta el borde de la isla, puedes trazar la forma de la isla, luego, encontrar el área se puede hacer de varias formas (siendo la integración una de las formas).

Si no tienes un punto de referencia al que la cámara (tus ojos) pueda apuntar siempre, entonces creo que el problema es complicado y no creo que haya solución.