¿ISN ' t el modus ponens sólo la definición de lo que ' si ' significa?

Question

Desde hace mucho tiempo me he sentido incómoda sobre el modus ponens. Es presentado a veces como si se tratase de una especie de descubrimiento o de una ley de cómo son las cosas.

Creo que simplemente describe lo que la estructura de la frase "Si..., entonces ...". Es básicamente la definición de la implicación.

¿Cómo es tratada de manera formal en matemáticas? Es la "implicación" de una primitiva caja negra en primer lugar y, a continuación, podemos afirmar que el modus ponens como un axioma?

Una vez que usted sabe que la semántica de la implicación (si-entonces oraciones), usted no necesita el modus ponens. De aprendizaje y el modus ponens le enseña todo lo que hay que saber sobre el significado de "si-entonces" oraciones.

Quiero decir, el "modus ponens" y "la semántica de la implicación de la" tapa exactamente lo mismo.

Puede especificar la semántica de la implicación con la verdad de la tabla. ¿Por qué usted nunca debe tratar con el modus ponens?

EDIT: aclaración Adicional. Creo que el modus ponens es superflua paso en la mayoría de los debates. Creo que el momento en el que probar a sí mismo, en el momento en que te das cuenta, el momento en que se hace clic en la cabeza de que "Si p entonces q"; y más tarde se observe que p es verdadera, automáticamente se dan cuenta de que q es verdadera.

De lo contrario, ¿qué significa que realmente se dio cuenta de que "Si p entonces q"? Si esta creencia no puede trabajar con la p creencia de que el rendimiento q automáticamente, ¿en qué sentido estas creencias realmente codificar sus significados?

Por automático quiero decir que usted no tiene que ir a través de otro paso a paso, como

De acuerdo, así que cuando tengo una si-luego de la sentencia y que también tienen su antecedente entre mis creencias, puedo aplicar el modus ponens y anexar la consecuencia de mi lista de creencias. Desde que estoy en esta situación ahora, puedo hacer esto.

Pero esto acaba de introducir una nueva meta modus ponens. Debido a que usted tiene el modus ponens de la regla, que tiene en sí misma un si entonces la estructura en un meta nivel: Si usted tiene estas dos frases, usted también puede tener una tercera. Con el fin de solicitar, usted necesita ver que usted, de hecho, tiene dos sentencias de este tipo y darse cuenta de por meta modus ponens que esta situación en conjunto con el modus ponens significa que usted puede realmente aplicar la regla. Esto conduce a una regresión infinita.

Creo que es mejor que deje en el primer nivel ya y aceptar q automáticamente. Así como usted no atraen a la meta modus ponens para hacer realidad modus ponens trabajo (usted asume modus ponens entra en acción automáticamente), que ya se podía suponer que el "Si p entonces q", sentencia funciona de forma automática.

Answer 1

Modus ponens es la regla de inferencia que nos permite concluir $$p\to q,p\vdash q $$ y, de hecho, es la única regla que da el sintáctica construir expresada por el $\to $ símbolo de su semántica (o en realidad sólo una parte de ella; ¿sabe usted lo que falta?). Del mismo modo, las reglas de inferencia $$\begin{align}a\land b&\vdash a\\a\land b&\vdash b\\a,b&\vdash a\land b\end{align} $$ hacer lo mismo para el $\land$ símbolo y "y" semántica. En cualquier caso, es reconfortante ver que hay sólo un puñado de reglas necesario para expresar el significado exacto de "si" y "y", y sin duda es más sencillo estar de acuerdo en que una determinada explícita puñado de reglas sintácticas de inferencia se mantenga y mucho menos propenso a errores de decir: "hey, el $\to$ es sinónimo de "si-entonces", como probablemente has aprendido en el jardín de infantes, pero onl yin el sentido material, no necesariamente en el sentido modal o que no hay necesidad de ser esta causalidad cosa entre la izquierda y la derecha y esas cosas"

Answer 2

Tomado literalmente, esto no es completamente cierto. Un conectivo $c$ podría decirse para satisfacer modus ponens, siempre que

si $c(p,q)$ $p$ son verdaderas, $q$ es cierto

en cada fila de la verdad-de la tabla. Sin embargo, hay muchos conectivas que cumplan esta condición, por ejemplo conjunción, bicondicional, negación conjunta, y el absurdo.

Hay algunas maneras que usted puede obtener la reclamación que usted desea. En primer lugar, se podría proponer que el condicional material es el "más débil" conectivo satisfacción de modus ponens. Es decir, se podría proponer

si $c$ satisface modus ponens, entonces, en cada fila de una verdad de la tabla, $c(p,q)$ es verdadera sólo si $p\to q$ es cierto.

Alternativamente, usted podría notar que un sistema de deducción natural que realmente contiene dos reglas para la condicional, el otro es condicional a prueba. Usted podría tratar de mostrar que el condicional es la única conectivo de la satisfacción de estas reglas. Si te quedas atascado, puede, a continuación, tratar de probar que los más débiles de la reclamación, que el condicional es la única verdad-funcional conectivo que satisface modus ponens y condicional a prueba en el contexto del resto de las reglas del sistema.

Tenga en cuenta que la idea de "satisfacer condicional a prueba" es algo menos sencillo. Aquí, usted desea utilizar la idea de que para que un conectivo para satisfacer una regla de inferencia es la regla de inferencia, interpretada por que conectivo, para ser tal que siempre se transforma argumentos válidos en argumentos válidos.

Answer 3

Creo que el modus ponens es superflua paso en la mayoría de los debates. Creo que el momento en el que probar a sí mismo, en el momento en que te das cuenta, el momento en que se hace clic en la cabeza de que "Si p entonces q"; y más tarde se observe que p es verdadera, automáticamente se dan cuenta de que q es verdadera.

Pero el "modus ponens" no es ni más ni menos que un lujo semi-nombre formal para exactamente el razonamiento paso a paso describe aquí! (Y, por extensión, de la regla formal que encarna ese razonamiento, cuando usted está hablando acerca de un sintáctico de la prueba del sistema).

En otras palabras, usted está diciendo "modus ponens es superfluo, porque es sólo modus ponens".

Answer 4

Modus Ponens es lo que le da semántica implicación de utilidad! Por ejemplo, la frase si dos es igual a tres, luego yo soy el rey del mundo es verdadero por definición (ya que el antecedente es falso), sin embargo, esta frase nunca es útil!

Considere ahora el siguiente:

Si $x$ es un número natural, a continuación, $x+1$ es un número natural

Esta proposición es verdadera para todo número natural $x$, y por otra parte, el Modus Ponens permite concluir, por ejemplo, que el $6$ es un número natural, ya que sabemos $5$ es un número natural.

Parece que el Modus Ponens es inútil, y de alguna manera es semánticamente (puede ser deducida a partir de las definiciones semánticas), pero no sintactically, en el contexto de pruebas, es necesario añadir la condición de que cuando tengas $p\implies q$$p$, entonces usted tiene $q$.

Answer 5

"¿Por qué siempre necesita usted tratar con modus ponens entonces?"

Porque son seres humanos y no computadoras o decir circuitos integrados. Pensar por ejemplo, un niño de 10 años y las dos maneras de presentar "si semántica" a ellos. ¿Que uno sería ser captado más fácilmente, más naturalmente? Esta pregunta es retórica, creo.