Una generalización de la identidad trigonométrica pitagórica

Question

¿Hay un teorema que establece que $\forall n \in \mathbb Z^+\ \ \exists c \in \mathbb R\ \ \forall x \in \mathbb R$ % $ $$\sum_{k=1}^{2n} \sin^{2n}\left(x + \frac{k \pi}{2n}\right) = c$(esencialmente, una generalización de la $\sin^2x + \cos^2x = 1$ a todos los poderes incluso positivo)?

He confirmado esto es para $n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$, pero que obviamente no es lo suficientemente bueno.

¿Además, si dicho resultado se ha demostrado, es la relación entre $n$ y $c$ conocido?

Answer 1

Un estándar truco cuando se trata de sumas de funciones trigonométricas es el uso de números complejos. En concreto, vamos a utilizar el identitiy $\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$. El uso de esta identidad, el teorema del binomio y intercambiando el orden de la suma obtenemos:

$$\begin{align*} &\sum \limits_{k = 1}^{2n} \sin^{2n}(x + k\pi/(2n)) = \sum \limits_{k = 1}^{2n} (2i)^{-2n} \left\{\exp(i(x + k\pi/(2n))) - \exp(-i(x + k\pi/(2n)\right\}^2 \\ ={}& (-4)^{-n} \sum \limits_{k = 1}^{2n} \sum \limits_{j = 1}^{2n} \binom{2n}{j} (-1)^{2n - j} \exp(ij(x + k\pi/(2n))) \exp(-i(2n - j)(x + k\pi/(2n))) \\ ={}& (-4)^{-n} \sum \limits_{j = 1}^{2n} \binom{2n}{j} (-1)^{2n - j} \exp(2i(j - n)x) \sum \limits_{k = 1}^{2n}\exp(i(j - n)k\pi/n) \\ \end{align*}$$

Ahora, ¿cómo es este término más simple que lo que comenzó con? Así, el interior de la suma es simplemente una forma geométrica de la suma y la podemos usar la fórmula $$\sum \limits_{k=1}^{2n} p^k = q \sum \limits_{k = 0}^{2n - 1} p^k= \begin{cases} q\frac{q^{2n} - 1}{q - 1} & q \ne 1 \\ 2n & q = 1 \end{casos}.$$

En nuestra fórmula, tenemos $q = \exp(i(j/n -1)\pi)$. Desde $1 \le j \le 2n$, esto va a ser $1$ fib $j = n$. Para $j \ne n$ tenemos sin embargo $q^{2n} - 1 = \exp(2i\pi (j - n)) - 1 = 0$, lo que significa que $$\sum \limits_{k = 1}^{2n}\exp(i(j - n)k\pi/n) = \begin{cases} 0 & n \ne j \\ 2n & n = j \end{casos}$$

Pero esto va a simplificar nuestra suma enormemente, ya que todos los sumandos con $j \ne n$ desaparecen: $$\sum \limits_{k = 1}^{2n} \sin^{2n}(x + k\pi/(2n)) = (-4)^{-n} \binom{2n}{n} (-1)^{2n - n} \exp(2i(n - n)x)2n = 2n \binom{2n}{n} 4^{-n}.$$

Bonus: Stirling aproximación de los rendimientos de $2n \binom{2n}{n} 4^{-n} \approx 2\sqrt{\frac{n}{\pi}}$.