¿Es la Unión de finito muchos sistemas abiertos en una cubierta omega dentro de algunos miembros de la cubierta?

Question

Deje $\mathcal{U}$ ser una cubierta abierta de a $\mathbb{R}$ (Estándar de la Topología) tal que $\mathbb{R} \not \in \mathcal{U}$ y para cualquier conjunto finito $A$ no es un porcentaje ($U \in \mathcal{U}$tal que $A \subseteq U$. Llamamos a una apertura de la cubierta de un $\omega$a cubrir. Podemos demostrar que para cualquier conjunto finito $B \subset \mathcal{U}$, hay un $V \in \mathcal{U}$ tal que $\cup B \subseteq V$?

En última instancia, en el que estoy trabajando, mostrando el siguiente. Deje $\langle \mathcal{U}_n: n \in \mathbb{N} \rangle$ ser una secuencia de $\omega$-cubre. Podemos encontrar una secuencia $\langle F_n: n \in \mathbb{N} \rangle$ con cada una de las $F_n \in \mathcal{U}_n$ tal que $\cup F_n$ es una cubierta abierta de a $\mathbb{R}$?

Mi enfoque aquí fue el uso de cada una de las $\mathcal{U}_n$ para cubrir los $[-n,n]$, con lo que, finalmente, cubriendo todos los de $\mathbb{R}$. Desde $[-n,n]$ es compacto y $\mathcal{U}_n$ es una tapadera, $\mathcal{U}_n$ tiene un número finito de subcover. Pero eso es lo máximo que puedo conseguir a menos que lo que me conjetura es verdadera.

Answer 1

Abra $\omega$-portadas de $\mathbb{R}$ no puede tener la propiedad que usted desea.

Considere el siguiente abra la cubierta $\mathcal{U}$$\mathbb{R}$: cada conjunto en $\mathcal{U}$ es un discontinuo de la unión de $m$ abierto intervalos de longitud de $\frac1n$ algunos $n \geq m \geq 1$.

Esto es claramente una $\omega$-cubierta de $\mathbb{R}$: dado cualquier conjunto finito $A = \{ a_1 , \ldots , a_m \} \subseteq \mathbb{R}$ $n \geq m$ lo suficientemente grande como para que $| a_i - a_j | > \frac1n$$i \neq j$, y, a continuación, tome $U = \bigcup_{i=1}^m ( a_i - \frac{1}{2n} , a_i + \frac{1}{2n} )$. A continuación, $U$ pertenece a $\mathcal{U}$, y contiene cada una de las $a_i$.

La próxima nota de que cada conjunto en $\mathcal{U}$ es distinto de la unión de un número finito de pares disjuntos intervalos, la suma de las longitudes de los cuales es $\leq 1$. De ello se sigue que no hay ningún conjunto en $\mathcal{U}$ incluye tanto $(0 , 1 )$$( 10 , 11)$, que ambos pertenecen a $\mathcal{U}$.