Interpretación física de la deformación $q$

Question

Actualmente estoy leyendo el artículo Quantum Group Particles and Non-Archimedean Geometry de Volovich y Aref'eva. Aquí discuten la diferencia entre la deformación $q$ y la deformación $\hslash$. En un sistema clásico, uno tiene $$ \begin{align} x_ix_j&=x_jx_i\\ p_ip_j&=p_jp_i\\ p_ix_j&=x_jp_i, \end{align} $$ donde $x_i$ y $p_i$ son posición e impulso, respectivamente. Entonces una deformación $\hslash$ da $$ \begin{align} [x_i,x_j]&=0\\ [p_i,p_j]&=0\\ [p_i,x_j]&=i\hslash \delta_{ij}, \end{align} $$ donde $\delta_{ij}$ es el delta de Kronecker. Este es un sistema cuántico, con el cual estoy familiarizado. Luego dicen que una deformación $q$ da $$ \begin{align} x_ix_j&=qx_jx_i, \quad i

Mis preguntas son:

1) ¿Cuál es la interpretación física de la deformación $q$? No parece ser lo mismo que pasar de la mecánica clásica a la mecánica cuántica. He visto la deformación $q$ en el caso de los grupos cuánticos, aunque no se dijo nada sobre la interpretación física.

2) ¿Cuál es la interpretación física de una línea cuántica o un plano cuántico?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

1) ¿Cuál es la interpretación física de la deformación q? No parece ser lo mismo que pasar de la mecánica clásica a la mecánica cuántica. He visto la deformación q en el caso de los grupos cuánticos, aunque no se mencionó nada sobre la interpretación física.

Una relación entre las dos nociones es

Si $[x, y]=h$ (un escalar o elemento central) entonces $e^x e^y = q e^y e^x$ con $q = e^h$ (asumiendo que las series exponenciales convergen)

Esto es consistente con álgebras conmutativas siendo el caso $\hbar = 0$ y $q = 1 respectivamente.

2) ¿Cuál es la interpretación física de una línea cuántica o un plano cuántico?

No hay una interpretación física estándar en este momento. En algunos modelos físicos, activar un campo magnético es una forma de deformación no conmutativa, y hay trenzado en algunos sistemas 2-d experimentalmente realizables, y probablemente otros ejemplos, pero no hay un sistema físico del cual puedas aprender y luego usar como modelo intuitivo para los grupos cuánticos.