Borel-Cantelli Bound

Question

Deje $(\Omega, \mathcal{F},P)$ ser un espacio de probabilidad y $A_1, A_2, \ldots$ una secuencia de eventos que $\sum P(A_n) \leq 1$. Es la probabilidad de que al menos en $k$ de la $A_n$'s delimitada por $1/k$? I. e. hace lo siguiente:se $$ P \bigg( \bigcup_{n_1,\ldots, n_k} A_{n_1} \cap \cdots \cap A_{n_k} \bigg) \leq \frac{1}{k}? $$

Sé que esto es cierto cuando la $A_n$'s son subconjuntos abiertos de $[0,1]$; y supongo que la prueba funciona en un contexto más general (por ejemplo, abrir la pone en $\mathbb{R}^n$ y más generalmente en polaco espacios), pero no parece funcionar en este, más general, uno.

Tenga en cuenta que esto daría un 'constructivo' prueba de la Borel-Cantelli lema.

Answer 1

Deje$N=\sum\limits_n\mathbf 1_{A_n}$, luego el evento que uno está en al menos$k$ de los eventos$A_n$ es$[N\geqslant k]$. Además,$E[N]=\sum\limits_nP[A_n]\leqslant1$ de ahí la desigualdad de Markov da$P[N\geqslant k]\leqslant E[N]/k\leqslant1/k$.