Teorema fundamental del cálculo.

Question

El Teorema Fundamental del Cálculo, dice lo siguiente:

Teorema. $f$ es el derivado de la $F$ en cada punto en $[a,b]$, a continuación, bajo las hipótesis apropiadas tenemos que $$\int_{a}^{b} f(t) \ dt = F(b)-F(a)$$

Teorema. Si $f$ es integrable en a $[a,b]$, a continuación, bajo las hipótesis apropiadas tenemos que $$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \ dt = f(x)$$

Estoy tratando de ponerme en los zapatos de Poisson, Cauchy y Riemann. La primera es básicamente decir que para encontrar el área bajo una curva, necesitamos encontrar cualquier anti-derivada y evaluar en los extremos?

La segunda es decir que podemos ver la integral como una función de la $x$ y tomar sus derivados para obtener $f(x)$.

No era la meta de Poisson, Cauchy y Riemann para encontrar el área bajo una curva? Así que la hipótesis de que el primer teorema y, a continuación, sólo más tarde se propuso el segundo teorema? Ambos teoremas tratar de encontrar el área bajo una curva (es decir, son equivalentes)?

Hacer estos teoremas todavía se mantienen en virtud de otros tipos de integración (es decir, la integral de Lebesgue)?

Answer 1

Sólo tengo una respuesta parcial.

Primero de todo, intenta dibujar algunas figuras que podrían pertenecer a los teoremas, entonces no parece tan misterioso.

Si una función $f:[a,b] \to \mathbf R$ es Riemann integrable, entonces es Lebesgue integrable y las integrales coinciden.

Si $f:[a,b] \to \mathbf R$ es limitada, a continuación, $f$ es Riemann integrable si y sólo si los puntos donde se $f$ es discontinua en a $(a,b)$ es un conjunto null.

Por el contrario si tenemos en cuenta la segunda ecuación, a continuación, de acuerdo a la diferenciación de Lebesgue teorema obtenemos $f(x)$ "casi en todas partes".

Esto le da una respuesta a su última pregunta.

Otro comentario es que es para algunos problemas de la multa a pensar acerca de una integral como el área bajo la curva, pero para los más "avanzados" análisis de este no es tan adecuado. Pienso en ellos como operadores lineales.

Answer 2

La siguiente respuesta podría ser algo sofisticado, pero presenta una intuitiva prueba de la diferenciación de Lebesgue teorema basado en la débil (1,1) de la propiedad satisfecho por el de Hardy-Littlewood máxima operador. Más específicamente, el siguiente resultado se conoce como Lebesgue de diferenciación teorema:

Lebesgue de diferenciación teorema: Para cualquier localmente integrable función de $f$ $\mathbb{R}^n$ hemos

$\lim_{r\to 0} \frac{1}{\left|B(x,r)\right|} \int_{B(x,r)} f(y)dy = f(x)$

para casi todos los $x\in \mathbb{R}^n$. En consecuencia, hemos $\left|f\right|\leq {\cal M}(f)$.e.

La idea es que si podemos controlar el operador $T^{*}$ definido por la regla $T^{*}(f)=\sup_{r>0} \left|\int_{B(x,r)} f(y)dy\right|$ por parte de un operador con buen acotamiento de las propiedades (por ejemplo, el de Hardy-Littlewood máxima operador), entonces podemos probar el teorema de la diferenciación anterior. Más precisamente, podemos demostrar el teorema de la diferenciación anterior para funciones continuas $f$ con soporte compacto (esto es fácil), y a continuación, utilizamos la densidad del espacio de forma compacta compatible funciones continuas en $L^1$.

Intuitivamente, el "truco" es que el acotamiento de las propiedades del operador $T^{*}$ implica un cierto "limitado oscilación condición" que nos permite probar el resultado para todos localmente integrable funciones utilizando la validez del resultado compacto admite funciones continuas. La más precisa explicación se puede encontrar en Loukas Grafakos' "Clásicas y Modernas de Análisis de Fourier", Capítulo 2, Sección 1, el Teorema de 2.1.14la, página 86.

Me gusta esta prueba de la diferenciación teorema mucho porque utiliza la debilidad de tipo (1,1) de la propiedad de los Hardy-Littlewood máxima operador y se basa en un resultado que tiene diversas aplicaciones (incluyendo la solución del problema de Dirichlet en la mitad superior del espacio). Por último, se ofrece una amplia evidencia de la importancia de la de Hardy-Littlewood máxima operador en el análisis armónico.