Evaluando $ \int_ {0}^{1} \int_ {0}^{1} \frac {r^{i+j}(1-r)^{k+l}s^{2m-i-j}(1-s)^{2m-k-l}}{(r+s)^{m}(2-r-s)^{m}}drds$

Question

Estoy tratando de calcular una expresión de forma cerrada para la integral $$ \int_ {0}^{1} \int_ {0}^{1} \frac {r^{i+j}(1-r)^{k+l}s^{2m-i-j}(1-s)^{2m-k-l}}{(r+s)^{m}(2-r-s)^{m}}drds \quad i,j,k,l \in\ {0,1, \ldots ,m\},$$ que ocurre en el cálculo $$ \mathrm {Ex} \left [ \frac {R^{i}(1-R)^{k}S^{m-i}(1-S)^{m-k}}{(R+S)^{m}(2-R-S)^{m}} \right ]$$ donde $R$ y $S$ son variables aleatorias independientes con $R \sim Beta(j+1,l+1)$ , $S \sim Beta(m-j+1,m-l+1)$ y $i,j,k,l \in\ {0,1, \ldots ,m\}$ .

En este momento la única idea que tengo es tratar de encontrar una descomposición de fracción parcial que me permita calcular la integral de los términos resultantes usando la integración por partes. Sin embargo, este sería un cálculo largo y tedioso. Realmente apreciaría cualquier idea o sugerencia para computar esta integral de una manera más elegante.

Answer 1

Este es sólo un comentario que se ha hecho grande, no una respuesta satisfactoria.

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Denota $a=i+j$ y $b=k+l$ : $$ I_{m}(a,b) = \int_0 ^1 \int_0 ^1 \frac {r^a (1-r)^b s^{2m-a} (1-s)^{2m-b}}{(r+s)^m (2-r-s)^m} \mathrm {d}r \, \mathrm {d}s $$ Al intercambiar $(r,s) \to (1-r,1-s)$ tenemos $I_m(a,b)=I_m(b,a)$ . De manera similar, por $(r,s) \to (s,r)$ tenemos $I_m(a,b) = I_m(2m-a,2m-b)$ . Por lo tanto, basta con considerar $0 \leqslant a \leqslant b \leqslant m$ .

La rápida experimentación con Mathematica sugiere que la respuesta: $$I_m(a,b) = R_m(a,b) + Q_m(a,b) \ln (2)$$ donde $R_m$ y $Q_m$ son números racionales:

Esto parece estar relacionado con una simple estructura del antiderivado: $$ \begin {eqnarray} \int \int \frac {r^a (1-r)^b s^{2m-a} (1-s)^{2m-b}}{(r+s)^m (2-r-s)^m} \mathrm {d}r \, \mathrm {d}s &=& \frac {P_1(r,s)}{(r+s)^{m-2}(2-r-s)^{m-2}} \\ && + \left (P_2(r) + P_3(s) \right ) \log (r+s) \\ && + \left (P_4(r) + P_5(s) \right ) \log (2-r-s) + C \end {eqnarray} $$ donde $P_i$ son polinomios. Es muy probable que el método de telescopaje creativo pueda ser utilizado para establecer ecuaciones de recurrencia satisfechas por $I_m(a,b)$ . Es muy posible que los paquetes de software desarrollados en RISC-Linz puedan ser útiles para hacer esto.