Me gustaría encontrar un método de comparación entre$I=\int_0^{2\pi}\sqrt{3+4\cos(x)+2\cos(2x)}dx$ y$J=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}\sqrt{3+2\cos(x)+2\cos(y)+2\cos(x+y)}dxdy$, además de solo computar las integrales. Con el software matemático se puede encontrar$I=9.0226$ y$J=9.8935$, por lo que$I<J$. Pero el método debería permitir extensiones a clases más grandes de funciones$f$ tal que$$\int_0^{2\pi}f(x,x)dx<\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x,y)dxdy.$ $ Por favor avíseme si tiene una idea.
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Esta es una de esas cosas donde las series de Fourier son la primera cosa que es evidente para intentar, al menos, conseguir una manija en lo que está pasando: si escribimos $$ f(x,y) = \sum_{n,m=-\infty}^\infty c_{m,n} e^{i(mx+ny)}, $$ donde $$ c_{m,n} = \frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x,y) e^{-i(mx+ny)} \, dx \, dy $$ entonces $$ f(x,x) = \sum_{n,m=-\infty}^{\infty} c_{m,n} e^{i(m+n)x}. $$ Podemos, entonces, integrar y aplicar la habitual relación de ortogonalidad $\int_0^{2\pi} e^{ikx} \, dx = 2\pi \delta_{k,0}$ obtener $$ \int_0^{2\pi} f(x,x) \, dx = 2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n,-n} $$ Por otro lado, la integral doble es, básicamente, por definición, $$ \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x,y) \, dx \, dy = (2\pi)^2 c_{0,0}. $$ Por lo tanto, básicamente, lo que usted necesita es la desigualdad $$ \sum_{n \neq 0 } c_{n,-n} > 0. $$ (Puede haber una mejor manera de decir esto).
Editar: Ahora, tenemos una integral para los coeficientes: $$ c_{n,-n} = \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i n(y-x)} f(x,y) \, dx \, dy. $$ En su caso, $f(x,y)=f(y,x)$, lo $c_{n,-n}=c_{-n,n}$. Por lo tanto la suma es $$ 2\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} \cos{n(y-x)} f(x,y) \, dx \, dy. $$ Tengo que admitir que esta no se ve muy útil en su caso.
Alternativa: recordar nuestro delta funciones, podemos reescribir la diferencia como $$ \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x,y) (1-2\pi\delta(x-y)) \, dx \, dy. $$ Demostrando su desigualdad es la misma como la demostración de que esto es positivo. Yo veo eso como ser útil principalmente en que podemos producir aproximaciones a la delta para obtener más intuición acerca de lo que las propiedades de $f$ necesita tener: en este caso, que podemos construir una secuencia $\delta_n \to \delta$ en el sentido habitual de la linealidad de los operadores. En particular, la "unidad de caja" versiones $$ \delta_n(x) = \begin{cases} \frac{n}{2} & |x|<\frac{1}{n} \\ 0 & \text{else} \end{cases}$$ mostrar que $f$ debe ser pequeño, cerca de la diagonal, en algún sentido (yo sin duda recomendamos la restricción de a $f \geqslant 0$: las alternativas se van a obtener aún más desagradable).
Sospecho que le dará al menos una condición suficiente para su desigualdad, pero, de nuevo, la naturaleza de el ejemplo se hace difícil aplicar este (aunque ahora se puede tratar de una expansión de Taylor cerca de la diagonal, por ejemplo). Hay también tratando de ató las cosas de arriba, que yo no he considerado todavía.
