Integral doble de$\exp(-t^2)$ en un dominio triangular

Question

Mi profesor de cálculo nos dio este interesante problema: Calcular

ps

Lo único que puedo pensar es usar la serie de Taylor para$$ \int_{0}^{1}F(x)\,dx,\ $ y pasar de allí, pero como nunca hablamos de convergencia uniforme y de integración de término por término, supongo que hay una manera más fácil de hacerlo .

Answer 1

Sugerencia: Primero (1) voltea los límites de la integral interna (suponiendo que esos límites estén correctamente establecidos), luego (2) cambie el orden de integración: $$ \ int_ {x = 0} ^ 1 \ int_ {t = 1} ^ xe ^ {- t ^ 2} dt \, dx \ stackrel {(1)} = - \ int_ {x = 0} ^ 1 \ int_ {t = x} ^ 1 e ^ {- t ^ 2} dt \ , dx \ stackrel {(2)} = - \ int_ {t = 0} ^ 1 \ int_ {x = 0} ^ te ^ {- t ^ 2} dx \, dt = - \ int_ {t = 0} ^ 1t e ^ {- t ^ 2} dt $$

Answer 2

No se necesitan cosas elegantes. Creo que solo podría integrarse por partes.

ps

La parte no integrada cancela y usa el teorema fundamental de cálculo,$$\int_0^1 F(x)\,dx=[xF(x)]_0^1-\int_0^1 xF'(x)\,dx$. Así

$$ \ int_0 ^ 1 F (x) \, dx = - \ int_0 ^ 1 xe ^ {- x ^ 2} \, dx $$ desde donde creo que puedes terminar.

Answer 3

Para justificar rigurosamente el uso del teorema de Tonelli , deje que$g:\mathbb R^2\to\mathbb R$ se defina por$g(x,t) = e^{-t^2}\mathsf 1_E$, donde$$E = \{(x,t)\in\mathbb R^2 : 0 < x < t < 1\}. $ $ Desde$g(x,t)\geqslant 0$ para todos$x,t$ y$g$ se puede medir como el producto de funciones medibles, se sigue que$$\int_{\mathbb R^2} g(x,t)\,\mathsf d(x\times t) = \int_{\mathbb R}\int_{\mathbb R} g(x,t)\,\mathsf dt\mathsf dx = \int_{\mathbb R}\int_{\mathbb R} g(x,t)\,\mathsf dx\mathsf dt. $ $

También podemos usar el teorema de Fubini . Desde$0\leqslant g(x,t)\leqslant 1$ para todos$x,t$ y$m(E)<1$, tenemos$$\int_{\mathbb R^2} |g(x,t)|\,\mathsf d(x\times t) <1<\infty,$$ so that $ g \ en L ^ 1 (\ mathbb R ^ 2)$ and again we conclude that the integral of $ g $ es finito e igual a las dos integrales iteradas.

Answer 4

Puedes hacerlo directamente. Desde$$\int e^{-t^2}\,dt=\frac{\sqrt{\pi }}{2} \text{erf}(t)$$ $$F(x) = \int_{1}^{x}e^{-t^2}\,dt=\frac{\sqrt{\pi }}{2} (\text{erf}(x)-\text{erf}(1))$$ Now, integrating by parts $$\int \text{erf}(x)\,dx=x \,\text{erf}(x)+\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi }}$ $

Estoy seguro de que puedes llevarlo desde aquí.