Encuentra el dominio y el rango de una función logarítmica.

Question

Necesito ayuda para encontrar el dominio y rango de las funciones logarítmicas. Por ejemplo, ¿cuál es el dominio y rango de $y=\log(x-3)$?

Answer 1

Echemos un vistazo a la función $$y = \log(x - 3)$$

Estamos tratando de encontrar el Dominio y el Recorrido de esta función, recordando que:

• Dominio: Incluye todos los valores de $x$ para los cuales la función está definida.

• Recorrido: Incluye todos los valores $y$ para los cuales hay algún $x$ tal que $y = \log(x - 3)$.

  No tiene sentido escribir $y = \log(a)$ cuando $a \leq 0$ porque $\log(a)$ solo está definido para $a$ positivo. Por lo tanto, en este problema, $y = \log(x = 3)$, está definido si y solo si $x - 3 \gt 0 \iff x \gt 3$, y eso te da el dominio $x\in (3, +\infty)$.

El recorrido de $y$ es todo de $\mathbb R$.

Realizar un gráfico de una función es una excelente manera de confirmar o ganar una comprensión del dominio y recorrido de una función.

Por ejemplo, a continuación se muestra el gráfico de la función $y = \log_e(x - 3)$.

A medida que $x$ crece, también lo hace $y$. Es decir, $y$ es una función creciente. A medida que $x$ se acerca a $3$ desde la derecha, aunque $y = \log_e(x - 3)$ no está definido para ningún $x \leq 3$, dentro del intervalo $x \in (3, 4)$, $y < 0$. Cuanto más cerca esté $x$ de $3$ (desde la derecha), más pequeño se vuelve $y$ (más "negativo" se vuelve $y$.)

Answer 2

Recuerda que para $x \in \mathbb{R}$ el argumento de $\log$ no puede ser negativo y $\log(x)$ varía de $-\infty$ a $\infty$

Answer 3

$\log$ es la función inversa de la exponenciación: $y = \log_b x \iff x = b^y$ (solo para $b$ positivo). Por lo tanto, el dominio de $y = \log_b x$ es el rango de $x = b^y$ que es todos los $x$ con $x > 0$ ya que $b^y$ siempre es positivo para $b$ positivo. Y el rango de $y = \log_b x$ es el dominio de $x = b^y$ que es cualquier número $y \in \mathbb{R}$.

Ahora para otras variaciones, simplemente aplicar lo anterior. En tu ejemplo tenemos $y = \log(x - 3)$. El dominio de $\log$ son los números positivos y por lo tanto debemos tener $x - 3 > 0 \implies x > 3$. El rango sigue siendo todos los números reales.

Answer 4

$y = \log(x-3)$

$x-3>0$

$x>3$

por lo tanto, el dominio es $(3,\infty)$