Los agujeros negros tienen potenciales conservadores. ¿Por qué las cosas no "oscilan" dentro y fuera?

Question

Los agujeros negros atraen los objetos a través de la gravedad, que es una fuerza conservativa. Pensando en la conservación de la energía, parece que para un objeto que se mueve hacia ellos, debería ser capaz de "balancearse" dentro y fuera del horizonte de sucesos de un agujero negro sin importar lo fuerte que sea la atracción gravitatoria en su interior, siempre y cuando no colisione con la singularidad. ¿En qué me equivoco?

Otros comentarios: @Javier mencionó que si un potencial tiene una dependencia mayor a 1/r^2, superaría el término de momento angular y las cosas caerían en el objeto que produce el potencial. Yo estaba confundido porque la gravedad sólo tiene un escalamiento de 1/r, pero este comentario de Javier era sólo para mencionar que tener objetos colisionando así era posible incluso con la mecánica clásica (aunque no a través de la gravedad). También me confundió que su figura pareciera poner r = 0 en el eje del tiempo, pero esto sólo se relaciona con su comentario acerca de que el espacio y el tiempo cambian de lugar.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que, incluso en la mecánica clásica, cualquier potencial que vaya a $-\infty$ más rápido que $1/r^2$ será más fuerte que la barrera del momento angular, y golpeará el centro. Pero esta no es la razón por la que no se puede escapar de un agujero negro.

En el contexto de la relatividad general (que es la única forma de dar sentido a los agujeros negros), la gravedad no es exactamente una fuerza. El nombre habitual de lo que ocurre es "curvatura del espaciotiempo". En esencia, la gravedad cambia el funcionamiento del espaciotiempo, de tal manera que en circunstancias familiares se parece a una fuerza. Y cuando tienes algo orbitando en el exterior un agujero negro, se puede pretender que existe una fuerza con un potencial conservador y proceder de forma muy parecida a como se hace en la mecánica newtoniana.

Pero cuando te adentras en el horizonte de sucesos, las cosas se ponen raras. Ya no se puede pretender que la gravedad sea sólo una fuerza, porque un agujero negro realmente altera el espacio-tiempo. Los detalles de esto son bastante difíciles de explicar a alguien que no tenga conocimientos de relatividad general; una forma popular de decirlo es decir que dentro de un agujero negro, el tiempo y el espacio cambian de lugar. En otras palabras, ir hacia adelante en el tiempo (que es lo que todo debe hacer) significa ir hacia $r=0$ .

Esto es más claro si se observa un diagrama de Penrose:

Esencialmente, la singularidad no corresponde realmente a un punto en el espacio. Lo que dice el diagrama es que la singularidad se comporta más bien como un punto en el tiempo; es el futuro de todo lo que entra en el agujero negro.

Answer 2

Pensando desde la conservación de la energía, parece que para un objeto que se mueve hacia ellos, deberían poder "balancearse" dentro y fuera del horizonte de sucesos de un agujero negro sin importar lo fuerte que sea la atracción gravitatoria en su interior mientras no colisione con la singularidad. ...

@Javier mencionó que si un potencial tiene una dependencia mayor a 1/r^2, superaría el término de momento angular y las cosas caerían en el objeto que produce el potencial. Estaba confundido porque la gravedad sólo tiene un escalamiento de 1/r,

Para un agujero negro de Schwarzschild de masa $M$ el potencial efectivo para una órbita de una partícula de prueba de momento angular específico $\ell$ es (en unidades de $G = c = 1$ ): $$V_\text{eff} = \underbrace{-\frac{M}{r} + \frac{\ell^2}{2r^2}}_\text{Newtonian form} - \frac{M\ell^2}{r^3}\text{,}$$ y la órbita de una partícula masiva se caracteriza por una energía específica constante $$\mathcal{E} = \frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}\right)^2 + V_\text{eff}\text{.}$$ El $r^{-3}$ corrección relativista la forma newtoniana puede interpretarse como una perturbación responsable de, por ejemplo, la precesión de Mercurio, aunque en GTR tanto el significado de la coordenada radial de Schwarzschild $r$ y el tiempo adecuado $\tau$ son finalmente no newtonianos.

En cualquier caso, se puede ver que en el radio de Schwarzschild $r = 2M$ El potencial centrífugo y la corrección relativista se anulan mutuamente. Dado que el potencial centrífugo es el responsable de que las órbitas "se desvíen" en la gravedad newtoniana, no podemos esperar que nos salve aquí. Más bien, el potencial atractivo $r^{-3}$ es dominante en las coordenadas radiales más pequeñas.

Para agujeros negros más complicados, no suele haber un único potencial efectivo, y no se puede decir que la gravedad sea una fuerza conservadora en nada parecido al sentido newtoniano. Sin embargo, un horizonte de sucesos sigue impidiendo que una partícula escape también para otros agujeros negros, de forma análoga a la respuesta de @Javier (aunque tendrían diagramas de Penrose más complicados).