¿Puede haber un modelo transitivo contable que satisfaga la misma teoría$MK$ como$V$?

Question

Hace un rato, me preguntó si no podría haber una contables transitiva modelo de la satisfacción de los mismos $ZFC$ teoría como $V$ (suponiendo que estamos trabajando dentro de algunos $V$, o (si te gusta) que no hay una única máxima universo de los conjuntos se denota por `$V$'). La respuesta fue un enfático sí, de hecho esta teoría está dada por Feferman. Lo que podemos hacer es añadir una constante símbolo $M$ a el lenguaje de la $ZFC$, y, a continuación, agregue los siguientes axiomas:

(1) $M$ es contable y transitiva.

(2) (Axioma Esquema) Para cada $\phi$, en el lenguaje de la teoría de conjuntos (sin $M$), $\phi \leftrightarrow \phi^M$.

Este último axioma tiene que ser un esquema; si se hubiera hecho con un solo axioma nos violaría del Teorema de Tarski. Sin embargo, las extensiones es bastante débil---resulta ser un conservador extensiones de $ZFC$ (por el Teorema de Reflexión). También se puede obtener un efecto similar con un predicado de verdad: podemos añadir un predicado de verdad, agregar Tarski $T$-axiomas y, a continuación, el uso de la reflexión en el idioma expandido obtener un $V_\alpha$ que luego Skolemise y Colapso para obtener una contables transitiva modelo que es de una escuela primaria de la subestructura de $V$.

Mi pregunta: Mover para el caso de que consideremos $MK$ clase de teoría sobre $V$, una de dos, ordenados de primer orden de teoría de conjuntos y clases con un impredicative clase de comprensión esquema. Supongamos que tenemos un "filosóficamente aceptable" la interpretación de las variables de modo que podamos dar $MK$ `completo' semántica (o simplemente trabajar en un $(V_\kappa, \in, V_\kappa +1)$ $\kappa$ inaccesible si usted tiene fundacional mareo). Podemos usar el mismo truco? es decir, Es el sistema de axiomas:

(1) $M$ es contable y transitiva.

(2) (Axioma Esquema) Para cada $\phi$ en el idioma de $MK$ (sin $M$), $\phi \leftrightarrow \phi^M$.

Mi preocupación: la Insistencia en la semántica completa para $MK$ asegura que hay una cantidad no numerable de frases satisfecho por $V$, y así no se puede tener un contable modelo transitivo; en cualquier $(M, \in, C) \models MK$, $C$ es siempre contables.

Del mismo modo, la verdad del predicado táctica parece chunga; un predicado va a ser de tercer orden, no sólo de segundo orden.

Sin embargo, soy consciente de que estoy jugando rápido y suelto aquí---$MK$ es todavía sólo una variedad de jardín contables de primer orden idioma, así que me pregunto si puede haber una contables transitiva modelo que es de una escuela primaria de la subestructura de $V$ respecto $MK$.

[EDIT: debo decir más sobre lo que me interesa. Este se subdivide la pregunta un poco:

1. Puede haber un $(M, \in , C)$ al $C$ es contable.

2. ¿Puede haber una primaria de la subestructura de $V$ (ya sea contable o incontable) $(M, \in, C)$.

Sneaky objetivo: estoy tratando de averiguar si hay una diferencia relevante (en el conjunto de tamaño o contables de las estructuras) entre tener una primaria submodel de $V$ en relación al $ZFC$ vs relativa a $MK$.]

Answer 1

Después de mi boceto en los comentarios, he aquí una prueba de que los axiomas (1) y (2) (donde $\phi$ no tiene parámetros) son conservadores $MK$ además, la selección del esquema:

(CC) $\forall x\exists X\phi(x, X) \to \exists Y\forall x\phi(x, Y_x)$

donde $Y_x = \{y:\langle x, y\rangle\in Y\}$, y el $\omega$dependiente de la elección del esquema:

(DC) $\forall X\exists Y\phi(X, Y) \to \exists Z\forall n\in\omega\phi(Z_n, Z_{n+1})$

Ver a Victoria Gitman las diapositivas aquí para más detalles.

La idea es construir un testigo (1) y (2) para cualquier colección finita $\phi_0,...,\phi_n$ de las fórmulas. En lo que sigue voy a suponer que estas fórmulas son cerrados bajo subformulas, y que contienen $\exists x(x = y)$, $\exists X(X = Y)$, $\exists x(x\in X \wedge x\not\in Y)$.

Deje $\mbox{dom}(X) = \{x: \exists y\langle x, y\rangle\in X\}$$\mbox{rng}(X) = \{y: \exists x\langle x, y\rangle\in X\}$, y deje $X^1 = \mbox{dom}(X)$$X^2 = \mbox{dom(rng}(X))$. Decir que $X$ es un modelo contable si $X^1$ $X^2$ son contables. En otras palabras, $X$ códigos contables dominio de $X^1$ y un contable de la clase de dominio $\{\mbox{rng}(X)_y: y\in X^2\}$.

Ahora, supongamos $X$ es un modelo contable. Por CC, hay un $Y^{\exists x/X\phi_i}$ de manera tal que cada vez que $\vec{x}\in X^1$, $\vec{y}\in X^2$, y $\exists x/X\phi_i(x/X,\vec{x},\vec{\mbox{rng}(X)_y})$, entonces:

$\phi_i(Y^{\exists x/X\phi_i}_{\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle}, \vec{x}, \vec{\mbox{rng}(X)_y})$

y de lo contrario,$Y^{\exists x/X\phi_i}_{\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle} = \emptyset$.

Por simplicidad, aquí y a continuación supongo que al $\exists x/X\phi_i$ lleva un conjunto de testigos, $Y^{\exists x/X\phi_i}_{\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle}$ es el conjunto correspondiente. A continuación, vamos a $Z$ ser tal que:

$Z^1 = \{Y^{\exists x/X\phi_i}_{\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle}: \vec{x}\in X^1 \wedge \vec{y}\in X^2, \mbox{for $\exists x/X\phi_i$ that take set witnesses}\}$

$\mbox{rng}(Z) = \{\langle \langle \exists x/X\phi_i, \vec{x},\vec{y}\rangle, z\rangle: z\in Y^{\exists x/X\phi_i}_{\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle}, \mbox{for $\exists x/X\phi_i$ that take class witnesses}\}$

Por lo $Z$ es un modelo contable cerrado bajo los testigos de la $\phi_i$ con los parámetros de $X$. Desde la DC, el se sigue que existe una contables secuencia $Y$ de los contables modelos de tal manera que $Y_0 = \emptyset$ $Y_{n+1}$ es cerrado bajo los testigos de la $\phi_i$ con los parámetros de $Y_n$. Dada una secuencia, vamos a $Z$ ser tal que:

$Z^1 = \bigcup_{n\in\omega} Y^1_n$

$\mbox{rng}(Z) = \{\langle \langle n, x\rangle, y\rangle: \langle x, y\rangle\in \mbox{rng}(Y_n)\}$

A continuación, es sencillo comprobar que $Z$ es un modelo contable cerrado bajo los testigos de la $\phi_i$ de sus parámetros. De ello se desprende que $\phi_i^Z$ fib $\phi_i$ para los parámetros de $Z$ (donde $\phi_i^Z$ es el resultado de restringir el conjunto de cuantificadores en $\phi_i$ $Z^1$y la clase de los cuantificadores a $\{\mbox{rng}(Z)_y: y\in Z^2\}$). Por último, tenga en cuenta que para los contables del modelo de conjunto de $M = \langle Z^1, \{Z^1\cap \mbox{rng}(Z)_y: y\in Z^2\}\rangle$, tenemos:

$M\vDash \phi_i(\vec{x},\vec{Z^1\cap \mbox{rng}(Z)_y})$ fib $\phi_i^Z(\vec{x},\vec{\mbox{rng}(Z)_y})$

De ello se desprende que los contables colapso transitivo de $M$, $M'$, es elementarily equivalente a $V$ condenas entre los $\phi_i$. Por lo $M'$ es nuestro deseado testigo (1) y (2).