Parece como si muchos consideran ZF a ser la base de un conjunto de axiomas para todos los de matemáticas (o, al menos, una parte crucial de las bases); cuando un teorema se encuentra para ser independiente de ZF, es generalmente aceptado que nunca habrá una prueba del teorema de una manera o de otra. Mi pregunta es, ¿por qué es esto? Parece como si ZF es deficiente en un número de maneras, desde propuestas como el axioma de elección y la hipótesis continua son independientes de éste. No debería nuestros axiomas de la teoría de conjuntos de ser capaces de darnos respuestas firmes a preguntas como estas? Sí, los teoremas de incompletitud decir que nunca vamos a desarrollar un conjunto perfecto de axiomas, y muchos de los teoremas independiente de nuestros axiomas probablemente va a ser muy interesante, pero es ZF realmente lo mejor que podemos hacer? Hay evidencia de que ZF es "el mejor" de la teoría de conjuntos nos puede venir para arriba con, o es meramente un argumento filosófico que ZF es lo que la teoría de conjuntos "debería"?
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Hay una muy activo debate en curso dentro de la teoría de conjuntos acerca de si las matemáticas necesita nuevos axiomas, y de los filósofos de las matemáticas están pesando en todos los lados. Consideraciones relevantes incluyen muchos muy profundo temas en la teoría de conjuntos, incluyendo la independencia, la coerción y el gran cardenal de la jerarquía. Algunos de estos temas son a la vez muy técnico y filosófico al mismo tiempo. Es justo decir que no es un campo emergente llamada de la filosofía de la teoría de conjuntos que se enfrenta precisamente a estas cuestiones.
Permítanme mencionar sólo algunas de las consideraciones. En primer lugar, el hecho histórico es que los axiomas de ZFC son suficientemente poderosos como para llevar a cabo casi todos los métodos de construcción que surgen en matemáticas fuera de la teoría de conjuntos. De hecho, los axiomas de ZFC seguramente son mucho más potente de lo necesario para la gran mayoría de los ordinarios de las matemáticas. Esto está demostrado por los resultados impresionantes en el campo de la Inversa de la Matemática (ver a Steve Simpson, Harvey Friedman, etc.), que se calcula para una gran colección de clásicos teoremas matemáticos exactamente que son los axiomas necesarios para probar. Inversa Matemáticas ganancias en la prueba de los axiomas del teorema así como el teorema de los axiomas (sobre una base muy débil de la teoría), mostrando así la necesidad de esos axiomas, y resulta que la mayoría de los clásicos teoremas de la matemática puede ser demostrado en relativamente débil teorías.
Sin embargo, dentro de la teoría de conjuntos, el conjunto de los teóricos que han descubierto el omnipresente independencia fenómeno, por el cual un gran número de teóricos afirmaciones resultan ser independiente de los axiomas de ZFC. Esto significa que no son ni demostrable ni rebatible en ZFC. Ahora tenemos miles de casos de conjunto fundamental de teoría de las proposiciones que se sabe que son independientes de ZFC. Esto incluye a casi cualquier trivial declaración de infinito cardenal aritmética (como la Hipótesis continua), así como un gran número de declaraciones en infinita combinatoria, y así sucesivamente. Este fenómeno apoya la opinión de que ZFC es un débil teoría, incapaz de decidir estas cuestiones.
Pero, por supuesto, por el Teorema de la Incompletitud sabemos que cualquier teoría podemos escribir se presentan este de la independencia fenómeno. Es imposible, en principio, para evitarlo.
Grandes cardenales son fuertes los axiomas de infinitud, algunos de los cuales se remontan a la época de Cantor (por lo que no son nuevos), que no es demostrable en ZFC y que trascienden a la consistencia de ZFC fuerza, formando una vasta jerarquía de la consistencia de la fuerza por encima de ella. Por lo tanto, tienden a compensar la debilidad de ZFC (si bien existe amplia independencia incluso con grandes cardenales). Algunos de los teóricos de hacer el caso que la existencia de grandes cardenales tiene numerosos atractivos regularidad consecuencias, incluso para la parte baja para los conjuntos de reales, que parecen señalar el camino hacia la finalmente la verdadera teoría de conjuntos, los cuales deben permanecer elusively oculta de nosotros debido al teorema de la Incompletitud. Hacer sentido (o sinsentido) de este punto de vista es una preocupación central de la emergente Filosofía de la Teoría de conjuntos.
Muy pocos mathematicions estos días deseo a la base de sus matemáticas en ZF sin el axioma de elección, como tu pregunta parece implicar. Sí, hay un intuitionist de la escuela acerca de la cual no sé mucho, pero se parecen bastante a los de la minoría. Así que vamos a considerar en ZFC. Yo creo que el principal argumento filosófico para ello es que los axiomas parecen obviuosly cierto, si usted está dispuesto a creer que las cosas tales como conjuntos infinitos existen en algunos de la moda, y que nadie ha sido capaz de llegar a un igual, obviamente, la "verdadera" declaración sobre los conjuntos que no es una consecuencia de estos axiomas. La independencia de la continuidad hipótesis no parece molestar a la gente, ya que para la mayoría de nosotros no me parece bien, obviamente, verdaderos o falsos, obviamente,. A pesar de que algunas personas están trabajando en su solución mediante la búsqueda de otros axiomas que, al menos, se considera probable que la verdad o al menos útil. Hubo un artículo reciente en los Avisos acerca de estos esfuerzos, de hecho. Pero es la que hay "pruebas contundentes" de que ZFC es la mejor que podemos encontrar? No por la mayoría de los matemáticos " los estándares creo, pero parece ser que hay un montón de suave evidencia.
Yo podría añadir que muchos de los matemáticos (estoy hablando aquí sobre todo acerca de los analistas, ya que ellos son la gente que conozco mejor) no me importa un ápice acerca de estas preguntas, pero felizmente ir sobre su negocio usando el lema de Zorn siempre parece necesario, y no dejar que les molesta. Y hay algunos que prefieren la base de todas las matemáticas en la categoría de teoría en lugar de la teoría de conjuntos ZFC, pero esa no es mi taza de té, así que lo voy a dejar sin agitar.
Hay un axioma de Freiling de la simetría (AX) es equivalente a la negación de la hipótesis del continuo más información al respecto está aquí:
http://en.wikipedia.org/wiki/Freiling%27s_axiom_of_symmetry
Para una base categorial de aspecto de las matemáticas aquí:
La gente usa lo que sea más útil. ZFC sólo pasa a ser un simple formalización de la forma de pensar de los conjuntos de tal manera que podamos eliminar la imprecisión lo suficiente para hacer bien las matemáticas. No hay "teoremas" independiente de ZFC en ZFC. CH no es un teorema de ZFC. Elección no está bien, pero por otro lado, la opción es útil para todo el mundo lo usa. Si usted no acepta el axioma de elección, entonces usted no puede tener cosas como arbitraria productos, y por alguna extraña razón, el estudio de los productos infinite es realmente muy útil para la práctica de los matemáticos.
Eso no quiere decir que el estudio de las cosas como CH no es útil. Creo que es, pero ahora mismo se que no es pertinente en la mayoría de los matemáticos.
Esta respuesta es esencialmente una Joel versión por otra ruta.
ZF(C), posiblemente con la apropiada gran cardenal axiomas, es uno de los tres oficiales más importantes axiomatisations en los fundamentos de la matemática, porque es foundationally completa (Friedman, 1997):
El conjunto habitual de teoría de bases es muy potente, coherente, concisa, el éxito, la exposición de motivos, impresionante, y totalmente dominante en este momento. Tomado como un todo, con el apoyo importante clásica de la evolución, es sin duda, uno de los pocos grandes acheivments de la mente humana de todos los tiempos.
Sin embargo, también no se acercan a hacer todo lo que uno podría demanda de los fundamentos de las matemáticas. En el momento actual, no hay soplado propuesta para el desguace y reemplazarla con algo sustancialmente diferente que no es mucho más problemas de lo que vale la pena. Presente curas son mucho mucho peor de lo que percibe la enfermedad.
...
Ahora, antes de recordar a todo el mundo de algunas de las características más importantes de los conjunto habitual de teoría de bases de matemáticas, permítanme una gran gran, gran, teorema, en los fundamentos de las matemáticas:
TEOREMA. Establece bajo la forma de inscripción de la más simple de foundationally completa sistema.
Hay un problema con este resultado: no sé cómo correctamente formular. En particular, no sé cómo formular correctamente "fundacional integridad" o "más simples."
