Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Sé $G/H$ es el espacio cociente pero no tengo ni idea de lo que $S^3/\Gamma$ es, donde $S^3$ es la esfera y $\Gamma$ es un subgrupo finito de $SO(4)$ . En este caso $S^3$ no tiene estructura de grupo y $\Gamma$ no es subgrupo de la esfera. Entonces, ¿qué es $S^3/\Gamma$ ?
Gracias por su ayuda.
$\mathrm{SO}(4)$ actúa sobre $S^3$ de forma obvia si pensamos en $S^3$ como el conjunto de vectores unitarios en $\Bbb R^4$ . Entonces cualquier subgrupo $\Gamma \leq G$ actúa sobre $S^3$ también. $S^3/\Gamma$ es el espacio orbital de este $\Gamma$ -acción, es decir $$S^3/\Gamma = S^3/\!\sim$$ donde $$x \sim y \quad \iff \quad x = g \cdot y \text{ for some } g \in \Gamma.$$
Los grupos tienen aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas debido a la noción de acción de grupo. Por ejemplo, un grupo $G$ puede actuar sobre un conjunto $X$ a través de un homomorfismo:
$$\rho:G\to \text{Bij}(X)$$
Dónde $\text{Bij}(X)$ es el grupo de todas las biyecciones de mapas de conjuntos de $X$ bajo composición. Si damos a estos conjuntos más estructura, podemos exigir que la operación de grupo respete la estructura, de modo que podemos tener grupos que actúen sobre otros grupos, anillos, espacios topológicos, colectores lisos, etc.
Si $M$ es un colector, y $G$ es un grupo, podemos definir una acción de grupo de $G$ en $M$ definiendo un homomorfismo de grupo $\rho:G\to \text{Diff}(M)$ donde $\text{Diff}(M)$ es el grupo de todos los difeomorfismos de $M$ bajo composiciones. En cierto sentido, cada elemento de grupo representa un difeomorfismo de $M$ de forma coherente con la ley de grupo (el difeomorfismo representado por $gh$ es la composición de los difeomorfismos representados por $g$ y $h$ etc.). A efectos de notación, a menudo escribimos $g\cdot x$ para $\rho(g)(x)$ donde $x\in M$ .
En este caso, podemos hablar del espacio cociente $M/G$ que es el conjunto de clases de equivalencia bajo la relación $x\sim y$ si y sólo si existe algún $g\in G$ con $g\cdot x=y$ . En otras palabras, las clases de equivalencia son las órbitas de la acción del grupo. Ahora bien, si la acción es suficientemente buena, podemos colocar una estructura de colector en el conjunto de clases de equivalencia $M/G$ dando lugar a una nueva variedad, denominada variedad cociente de $M$ por $G$ .
Un breve ejemplo. El grupo de $n$ raíces de la unidad, $\mu_n$ actúa sobre $S^1$ mediante multiplicación, si consideramos $S^1$ como subconjunto del plano complejo. En ese caso, cada órbita tiene un único representante cuyo argumento se encuentra entre $0$ y $2\pi/n$ . Resulta que la estructura de la variedad cociente es difeomorfa a la original. $S^1$ bajo el mapa $\overline{z}\mapsto z^n$ .
En su caso, tenemos $S^3$ actuando sobre un subgrupo $\Gamma$ de $SO(4)$ y estamos considerando la colector cociente $S^3/\Gamma$ .
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