Realidades aleatorias y aleatoriedad Martin-Löf

Question

Mis preguntas son acerca de la relación entre las nociones de aleatoriedad:

1. Un real $r$ es al azar sobre el modelo de $M$ si $r\notin B$ por cada null conjunto de Borel $B$ codificados en $M$.

2. Un real $r$ es de Martin-Löf azar si $r\notin U$ por cada $G_{\delta}$ $U$ determinado por un constructiva null cubierta (se puede leer la definición completa aquí).

Aunque estas dos definiciones son obviamente diferentes, comparten algunas similitudes.

Pregunta 1: ¿hay alguna interesante teoremas que arrojan algo de luz sobre la relación entre estas dos nociones de aleatoriedad?

Pregunta 2: Definir el real $r$ Martin-Löf $M$ si $r$ evita todos los $G_{\delta}$ conjunto codificado en $M$ que es determinado por un constructiva null cubierta. Lo interesante obligando a las nociones genéricos reales de los que son de Martin-Löf sobre el modelo original (puede restringir el mismo para el caso de los bien definidos obligando nociones, tales como Suslin obligando a nociones o nep obligando a)? ¿Hay alguna interesante caracterizaciones de esos reales?

Pregunta 3: Tiene un trabajo interesante se ha hecho sobre la eficacia de la versión de azar real forzar, donde los conjuntos de Borel son reemplazados por $\Pi_n^0$ conjuntos de medida positiva?

Como soy bastante novato en la aleatoriedad algorítmica, sospecho que las preguntas anteriores son triviales o bien conocidos, así que siéntase libre para simplemente dar referencias a las obras que responder a estas preguntas.

Answer 1

Cualquier modelo transitivo M de ZFC contiene un código para cada "constructiva" G nula-delta conjunto y mucho más. Así que si el real es al azar sobre M, entonces no solamente ML al azar, pero también n-aleatorio para cada n. Asimismo, el conjunto de ML no randoms es un valor nulo (lightface) $\Pi_2^0$ conjunto de lo que está codificado en M. por lo tanto, cualquier forzando la noción de que agrega un verdadero fuera de este conjunto (por ejemplo, los Sacos obligando a continuación un conjunto perfecto de evitar la no MLR), añade un ML al azar. Uno de los principales problema que veo con "effectivizing" random forzar es que cualquier cobro efectivo es contable y la única que no trivial contables de forzamiento se Cohen forzar. Lo que se hace generalmente es sólo requieren el genérico para cumplir con algunos efectivos de la familia de conjuntos densos y no todos los conjuntos densos en M. Esto da lugar a n-aleatorio y n-genérica de las jerarquías.

Answer 2

Tal vez las respuestas son demasiado tarde.

(1)El segundo el azar tiene un nombre llamado débil-2-aleatoriedad. Usted puede relativizar cualquier real $x$. Real $r$ es al azar sobre $M$ si y sólo si es débil-2(x)-aleatorios para todos los $x\in M$.

(2)Vamos a $P$ ser un obligando noción con las condiciones que se $\Pi^0_1$-clases con medida positiva. A continuación, se produce débilmente-2-aleatorios reales. Un real $x$ es débilmente-2-aleatorio si y sólo si es Martin-L\" de azar y las formas de un mínimo de par con $\emptyset'$.

(3)Kurtz investigó la aleatoriedad nociones nivel por nivel. Usted puede encontrar los hechos en Downey-Hirschfeldt del libro.