Si$a^{m}=b^{m}$ y$a^{n}=b^{n}$, muestra que a = b

Question

Pregunta: supongamos que a y b pertenecen a un dominio integral. Si$a^{m}=b^{m}$ y$a^{n}=b^{n}$, donde myn son números enteros positivos que son relativamente primos, demuestre que a = b.

Bueno, myn son relativamente primos así que gcd (m, n) = 1 se mantiene. De hecho, del hecho de que el gcd de cualquier número entero positivo: gcd (m, n) = 1 = ms nt para algunos enteros s, t.

Elevando el elemento a a ms nt:$a^{ms+nt}=a$

Un buen consejo sería útil.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Si$ms+nt=1$, entonces:

$a = a^1 = a^{(ms+nt)} = a^{ms}a^{nt} = (a^m)^s (a^n)^t = (b^m)^s (b^n)^t = b^{ms}b^{nt} = b^{(ms+nt)} = b^1 = b$

Answer 2

Sugerencia $ $ En el campo de cociente$\,(a/b)^m = 1 = (a/b)^n\,$, el orden $\,d\,$ de$\, a/b\,$ divide las coprimes$\,m,n\,$ así$\,d=1,\,$ so$\,a/b = 1,\,$ so $\,a=b.$

Answer 3

Si usted no ha cubierto los campos de fracciones sin embargo, puede utilizar el hecho de que la cancelación de la ley tiene en la integral de dominios en su lugar.

De todos modos, usted sabe que no existen enteros $s$ $t$ tal que $ms+nt=1$. Necesariamente, a continuación, uno de ellos es negativo y el otro positivo. Mover el término negativo para el otro lado, y intercambiando $m,n$ si es necesario, se puede volver a escribir que leer $$ mu=1+nv $$ para algunos enteros positivos $u,v$. Entonces $$ a\cdot a^{nv}=a^{1+nv}=a^{mu}=(a^m)^u=(b^m)^u=b^{mu}=b^{1+nv}=b\cdot(b^n)^v=b\cdot a^{nv}, $$ y que usted reciba la reclamación, anulando el factor de $a^{nv}$. Dejando el caso de $a^{nv}=0$: -)