Ninguna proposición$\chi$ tal que$\mathscr{M}\models\chi\iff\mathscr{M}$ es infinita

Question

Deje que la notación "$\models$" se utilizará para los siguientes dos casos:

• deje $\mathscr{M}\models\varphi$ donde $\mathscr{M}$ es una interpretación del modelo y $\varphi$ es una proposición, significa que $\varphi$ mantiene en el modelo de $\mathscr{M}$;
• deje $\Phi\models\varphi$ donde $\Phi$ es un conjunto de proposiciones y $\varphi$ es una proposición, significa que $\varphi$ es una consecuencia lógica de $\Phi$, es decir, que se mantiene en todos los modelos, donde las proposiciones pertenecientes a $\Phi$ mantener.

He leído el siguiente interesante teorema (V. Manca, Logica matematica, 2001), cuya prueba no entiendo:

No hay ninguna proposición $\chi$ tal que$$\mathscr{M}\models\chi\iff\mathscr{M}\text{ is infinite}.$$ Prueba: supongamos que una proposición $\chi$ existe. Consideremos la teoría de la $\Psi$ de los contables de dominio:$$\mathscr{M}\models\Psi\Rightarrow\mathscr{M}\models\chi$$therefore$$\Psi\models\chi$$y esto es absurdo, porque el teorema de finitud.

Hay dos cosas principales oscuro para mí: lo que una teoría de los contables de dominio [teoria del dominio numerabile en el libro original, italiano idioma] y el teorema de finitud que hace que la última fórmula absurda. Por el teorema de finitud supongo que el único teorema de rodamiento que el nombre que aparece en el libro es la intención, que dice que, dado un conjunto de proposiciones $\Phi$ y una proposición $\varphi$, $\Phi\models\varphi\iff\Delta\models\varphi$ para algunos subconjunto finito $\Delta\subseteq\Phi$. ¿Alguien entiende esta prueba? Yo de todo corazón gracias por cualquier respuesta!

Answer 1

Tendría sentido si la "teoría de los contables de dominio" $\Psi$ es la teoría que contiene las frases "hay, al menos, $n$ objetos" para cada una de las $n$, es decir, las sentencias $\forall x_1, \ldots, x_{n-1}\, \exists x_n\, \bigwedge_{i<n} x_n \neq x_i $.

Cualquier subconjunto finito de esta teoría tiene un modelo finito. Por el teorema de finitud (más comúnmente conocido como el teorema de compacidad para la lógica de primer orden), si $\Phi \models \chi$, entonces existe un subconjunto finito de $\Phi$ que modelos de $\chi$; por lo $\chi$ es verdadera en el modelo finito de que determinado subconjunto finito. Esto contradice la suposición sobre la $\chi$.

Answer 2

Aquí es un boceto para una más "convencional" prueba del teorema.

Primero de todo, tienes que prueba lo siguiente:

$\textbf{Lemma.}$ No hay teoría de la $T$ de manera tal que la clase de los modelos de $T$ consiste exactamente en todos los modelos finitos.

El anterior lema ya puede ser conocido. Es la prueba de que es un ejemplo típico de la aplicación del teorema de compacidad.

Ahora, para probar el teorema, que es el tema de tu post, vamos a asumir que hay una frase que $\chi$ con

$\phantom{assssssssssssssssssssasaaaaaaaaa}$$M \models \chi$ iff $M$ es infinito

Luego, la clase de los modelos de $\neg \chi$ es exactamente la clase de todos los modelos finitos - una contradicción a nuestro lema desde arriba.