En el siguiente ejemplo se me ha pedido encontrar el volumen V del sólido delimitado por la esfera $ x^2 + y^2 +z^2 = 2 $ y el paraboloide $ x^2 + y^2 = z $ mediante la triple integración.
No estoy muy seguro de cómo configurar esta triple integración y cuáles deberían ser los integrandos de cada una.
El OP dijo que no saben qué son estos. No es necesario reprender. @javahelp: Mientras que las coordenadas cartesianas describen un desplazamiento $x$, $y$ y $z desde un origen fijo, las coordenadas cilíndricas describen una altura $z sobre un plano fijo, y un radio $r y un ángulo $\theta en ese plano. Imagina dibujar un cilindro centrado en el origen y pasando por tu punto; puedes describir la posición del punto por su altura, radio y ángulo. Aquí tienes un artículo sobre la integración en coordenadas cilíndricas.
Es cómodo describir tu sólido en coordenadas cilíndricas ya que tanto la esfera como el paraboloide tienen el eje $z$ como eje de simetría (ambas superficies son superficies de revolución alrededor del eje $z$).
En coordenadas cilíndricas, la esfera se describe como $\rho^2 + z^2 = 2$ y el paraboloide se describe como $\rho^2 = z$. El sólido delimitado entre ellos se describe como $\rho^2 \leq z \leq \sqrt{2 - \rho^2}$ así que
$$ V = \int_{0}^1 \int_{0}^{2\pi} \int_{\rho^2}^{\sqrt{2 - \rho^2}} \rho \, dz \, d\theta \, d\rho = 2\pi \int_0^{1} \rho \left( \sqrt{2 - \rho^2} - \rho^2 \right) \, d\rho = 2\pi \left( \frac{1}{2} \int_1^2 \sqrt{u} \, du - \int_0^{1} \rho^3 \right) = 2\pi \left( \frac{2^{\frac{3}{2}} - 1}{3} - \frac{1}{4}\right).$$
donde usamos la sustitución $u = 2 - \rho^2, \, du = -2\rho$ para la primera integral.
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