Cómo derivar la fórmula para$\sum_{n=0}^{\infty}\tan^{-1}(\frac{x^{2}}{n^{2}})$

Question

Cómo derivar la fórmula$$\sum_{n=1}^{\infty}\tan^{-1}\left(\frac{x^{2}}{n^{2}}\right)=\tan^{-1}\left[\frac{\tan\left(\frac{x\pi}{\sqrt{2}}\right)-\tanh\left(\frac{x\pi}{\sqrt{2}}\right)}{\tan\left(\frac{x\pi}{\sqrt{2}}\right)+\tanh\left(\frac{x\pi}{\sqrt{2}}\right)}\right]$ $

¿Es correcta la fórmula? ¿Cómo obtengo la fórmula anterior? Traté de aplicar la fórmula integral como el límite de la fórmula de la suma.

Answer 1

Comenzaría esa suma en$n=1$ si fuera tú.

Ahora, hasta múltiplos de$\pi$, $$ \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ tan ^ {- 1} \ frac {x ^ 2} {n ^ 2} $$ es el argumento del número complejo$$\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{ix^2}{n^2}\right).$ $

Pero$$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)=\frac{\sin\pi z}{\pi z}$ $, ¿qué hay de elegir$z$ para hacer$-z^2=ix^2$?