Conjetura sobre una integral

Question

Así, integral cuestión de tiempo.

$$\int_0^1 \frac{1}{x} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)e^{-x}\ \text{d}x$$

Yo estaba tratando de calcular esta integral, y en un cierto punto he comprobado con Mathematica, y se resolvieron en forma numérica, de regresar el siguiente resultado:

$$1.4721301560626(...)$$

Ahora estoy preguntando si existe una forma de obtener este resultado en un formulario. Me enteré de que ese número puede ser expresado como

$$\frac{1}{8}\left(60 C - 4 - 21\pi +\pi^2 + 68\pi \ln(2) - 38\pi \ln(3)\right)$$

Donde $C$ es el catalán constante.

Pero mejor aún como

$$\frac{1097113}{2341289}\pi$$

A pesar de esas formas no son exactos.

Hay una manera de resolver la integral con el fin de obtener el resultado en un formulario?

No estoy diciendo que yo firmemente creo que debe haber una estrecha forma, pero sería agradable!

Answer 1

Para cualquier $k\geq 1$ tenemos $$\int_{0}^{1}\log(1-x)\, x^{k-1} \,dx = -\frac{H_k}{k},\qquad \int_{0}^{1}\log(1-x^2)\, x^{k-1} \,dx = -\frac{H_{k/2}}{k} \tag{A}$ $ por lo tanto sigue % $$$ \int_{0}^{1}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)e^{-x}\,\frac{dx}{x} = \frac{\pi^2}{4}+\!\!\!\!\!\!\underbrace{\sum_{k\geq 1}\frac{(-1)^k}{k!}\cdot \frac{2H_k-H_{k/2}}{k}}_{\text{fast-convergent and with alternating signs}}\tag{B}$

y un montón de aproximaciones exactas son fácil de derivar. Por otro lado, yo no apostaría a la existencia de una simple forma cerrada para la serie destacada, si no en términos de integrales exponenciales.